(Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài tập tổng hợp Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Bài 1. Cho hai số thực dương $a$ và $b$ thỏa mãn $a+b\le 2$. Chứng minh

$\frac{a^2}{a^2+b}+\frac{b^2}{b^2+a}\le 1$.

                                                            (Trích đề thi vào 10 TP Hà Nội 2023 – 2024)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Ta có: $\frac{a^2}{a^2+b}+\frac{b^2}{b^2+a}\le 1\left(1\right)$

$a^2\left(b^2+a\right)+b^2\left(a^2+b\right)\le \left(a^2+b\right)\left(b^2+a\right)$

$a^3+b^3+2a^2{b}^2\le a^3+b^3+a^2{b}^2+ab$

$a^2{b}^2\le ab\left(2\right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $a$ và $b$, ta có $2\ge a+b\ge 2\sqrt{ab}.$

Khi đó $\sqrt{ab}\le 1$ nên $ab\le 1$suy ra $a^2{b}^2\le ab$. Do đó $\left(2\right)$ đúng.

Vì bất đẳng thức $\left(2\right)$ đúng nên bất đẳng thức $\left(1\right)$ đúng (đpcm).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a+b=2\\ a=b\end{array}\right.$ hay $a=b=1$.

Cách 2:Ta có $\frac{a^2}{a^2+b}=1-\frac{b}{a^2+b};\frac{b^2}{b^2+a}=1-\frac{a}{b^2+a}$;

$\frac{a^2}{a^2+b}+\frac{b^2}{b^2+a}=2-\left(\frac{b}{a^2+b}+\frac{a}{b^2+a}\right)$.

Ta chứng minh $\frac{b}{a^2+b}+\frac{a}{b^2+a}\ge 1$.

Ta có $VT=\frac{b}{a^2+b}+\frac{a}{b^2+a}=\frac{b^2}{a^{2}b+b^2}+\frac{a^2}{b^{2}a+a^2}$

$\ge \frac{{\left(a+b\right)}^2}{a^{2}b+b^2+b^{2}a+a^2}\ge \frac{{\left(a+b\right)}^2}{2ab+b^2+a^2}=2$.

Do đó $\frac{a^2}{a^2+b}+\frac{b^2}{b^2+a}\le 1$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}a+b=2\\ a=b\end{array}\right.$ hay $a=b=1$.

Bài 2: Cho ba số dương $a,b,c$.

Chứng minh

$P=\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\le \frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)$.

(Trích đề thi vào 10 tỉnh Lai Châu 2019 – 2020)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{x+y}\le \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)$, ta có:

$\frac{ab}{a+b+2c}=ab\cdot \frac{1}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le ab\cdot \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\le \frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)$.

Tương tự: $\frac{bc}{b+c+2a}\le \frac{1}{4}\left(\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}\right);\frac{ca}{c+a+2b}\le \frac{1}{4}\left(\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b}\right)$.

Vậy $P\le \frac{1}{4}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{b+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{c+b}+\frac{ca}{a+b}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)$.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$.

Bài 3. Cho $x,y$ là các số thực dương thoả mãn điều kiện $x^2+y^2=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\left(3-x\right)\left(3-y\right).$

                                                            (Trích đề thi vào 10 tỉnh Bắc Giang 2019 – 2020)

Hướng dẫn giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:

${\left(x+y\right)}^2\le \left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)=2$ nên $x+y\le \sqrt{2}$.

Lại có: $P=\left(3-x\right)\left(3-y\right)=9-3\left(x+y\right)+xy$

$=9-3\left(x+y\right)+\frac{{\left(x+y\right)}^2-\left(x^2+y^2\right)}{2}$

$=9-3\left(x+y\right)+\frac{{\left(x+y\right)}^2-1}{2}=\frac{{\left(x+y\right)}^2-6\left(x+y\right)+17}{2}$

$=\frac{{\displaystyle [}{\left(x+y\right)}^2-6\left(x+y\right)+9]+8}{2}=\frac{1}{2}{\left(x+y-3\right)}^2+4.$

Vì $x+y\le \sqrt{2}$ nên$x+y-3\le \sqrt{2}-3<0$, suy ra${\left(x+y-3\right)}^2\ge {\left(\sqrt{2}-3\right)}^2=11-6\sqrt{2}.$

Khi đó $P=\frac{1}{2}{\left(x+y-3\right)}^2+4\ge \frac{11-6\sqrt{2}}{2}+4=\frac{19}{2}-3\sqrt{2}$

Do đó $P\ge \frac{19}{2}-3\sqrt{2}.$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=y=\frac{\sqrt{2}}{2};P_{\min }=\frac{19}{2}-3\sqrt{2}.$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---