(Ôn thi Toán vào 10) Một số yếu tố xác suất

Một số yếu tố xác suất nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Phép thử ngẫu nhiên

Một hoặc một số hành động, thử nghiệm được tiến hành liên tiếp hay đồng thời mà kết quả của chúng không thể biết trước được khi thực hiện nhưng có thể liệt kê được tất cả các kết quả có thể xảy ra, được gọi là một phép thử ngẫu nhiên, gọi tắt là phép thử.

2. Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử (gọi tắt là tập tất cả các kết quả có thể của phép thử) được gọi là không gian mẫu.

Không gian mẫu của phép thử được kí hiệu là $\Omega .$

➤ Chú ý: Các kết quả có thể xảy ra của một phép thử có khả năng xuất hiện như nhau được gọi là đồng khả năng.

3. Kết quả thuận lợi cho một biến cố liên quan tới phép thử

Cho phép thử $T.$ Xét biến cố $A,$ ở đó việc xảy ra của $A$ tùy thuộc vào kết quả của phép thử $T.$ Kết quả của phép thử $T$ làm cho biến cố $A$ xảy ra gọi là kết quả thuận lợi cho $A.$

4. Tính xác suất của biến cố liên quan đến phép thử khi các kết quả của phép thử đồng khả năng

Giả sử rằng các kết quả có thể của một phép thử là đồng khả năng.

Khi đó xác suất của biến cố $A,$ kí hiệu là $P\left(A\right),$ bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ và tổng số kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu):

$P\left(A\right)=$$\frac{\text{Số kết quả thuận lợi cho }A}{Tổngsốkếtquảcóthểxảyra}$$=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}.$

5. Cách tính xác suất của một biến cố

Để tính xác suất của một biến cố $A,$ ta có thể thực hiện các bước như sau:

Bước 1. Mô tả không gian mẫu của phép thử.

Từ đó xác định số phần tử của không gian mẫu $\Omega$

Bước 2. Chứng tỏ các kết quả có thể của phép thử là đồng khả năng.

Bước 3. Mô tả các kết quả thuận lợi cho biến cố $A.$ Từ đó xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$

Bước 4. Lập tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ với số phần tử của không gian mẫu $\Omega .$

II. CÁC DẠNG BÀI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

Dạng 1. Xác định không gian mẫu của phép thử khi lấy một vật trong $n$ vật

Ví dụ 1. Một hộp có 9 tấm thẻ cùng loại, được đánh số từ 1 đến 9. Bạn Nga rút ngẫu nhiên một tấm thẻ để xác định thứ tự thi văn nghệ cho lớp mình. Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu của phép thư là: $\Omega =\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}.$

Không gian mẫu có 9 phần tử.

Ví dụ 2. Trong hộp có 3 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?

Hướng dẫn giải:

Tổng số viên bi trong hộp là: $3+4+5=12$ (viên).

Số phần tử của không gian mẫu là 12.

Dạng 2. Xác định không gian mẫu của phép thử có sự phối hợp hai hành động

Phương pháp giải:  Bước 1. Xác định các khả năng có thể xảy ra cho từng hành động Bước 2. Kết hợp từng khả năng của mỗi hành động với nhau Bước 3. Loại bỏ các khả năng không thể xảy ra và kết luận

Ví dụ 3. Hà có ba đôi giày ứng với ba màu trắng, xanh, đen và bốn đôi tất ứng với bốn màu đỏ, hồng, cam, vàng. Hãy giúp Hà phối hợp giày và tất. Không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?

Hướng dẫn giải:

Ta kết hợp từng màu của giày với từng màu của tất nên được các khả năng có thể xảy ra là: (giày trắng, tất đỏ); (giày trắng, tất hồng); (giày trắng, tất cam); (giày trắng, tất vàng); (giày xanh, tất đỏ); (giày xanh, tất hồng); (giày xanh, tất cam); (giày xanh, tất vàng); (giày đen, tất đỏ); (giày đen, tất hồng); (giày đen, tất cam); (giày đen, tất vàng).

Không gian mẫu của phép thử có 12 phần tử.

Ví dụ 4. Xét phép thử lập số $\overline{ab}$ có hai chữ số khác nhau từ các chữ số $0;1;2;6;9.$ Mô tả không gian mẫu của phép thử đó.

Hướng dẫn giải:

Kết quả của phép thử là một số $\overline{ab}$ trong đó $a$ và $b$ tương ứng là hàng chục và hàng đơn vị. Vì số này có hai chữ số khác nhau nên $a\ne 0$ và $a\ne b.$

Ta liệt kê được tất cả các kết quả có thể của phép thử bằng cách lập bảng sau:

Do $a\ne 0$ và $a\ne b$ nên trong bảng ta phải xóa các số $00,01,02,06,09,11,22,66,99.$

Vậy không gian mẫu của phép thử đó là:

Dạng 3. Tính số phần tử của không gian mẫu dưới dạng một dãy số có quy luật

Ví dụ 5. Lấy một số bất kì trong tập hợp các số chẵn có ba chữ số. Tính số phần tử của không gian mẫu đó.

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu là tập hợp gồm các số chẵn có ba chữ số $\Omega =\left\{100;102;104;\dots ;996;998\right\}.$

Số phần tử của không gian mẫu là: $\frac{998-100}{2}+1=450.$

Ví dụ 6. Viết một số bất kì lớn hơn $1221,$ nhỏ hơn $8651$ và chia hết cho 4. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy của phép thử đó?

Hướng dẫn giải:

Không gian mẫu của phép thử là: $\Omega =\left\{1224;1228;1232;\dots ;8644;8648\right\}.$

Số khả năng có thể xảy ra của phép thử là: $\frac{8648-1224}{4}:4+1=1857.$

Dạng 4. Mô tả kết quả thuận lợi của biến cố

Ví dụ 7. Hưng trả lời đúng một câu hỏi trong chương trình “Chiếc nón kì diệu” và được tham gia quay thưởng. Biết các mức giải thưởng là 50 000 đồng, 100 000 đồng, 200 000 đồng, 300 000 đồng, 500 000 đồng, 1 000 000 đồng, 2 000 000 đồng. Mô tả kết quả thuận lợi của biến cố “Hưng quay được giải thưởng lớn hơn 400 000 đồng”.

Hướng dẫn giải:

Có 3 kết quả thuận lợi của biến cố “Hưng quay được giải thưởng lớn hơn 400 000 đồng” là: 500 000 đồng, 1 000 000 đồng, 2 000 000 đồng.

Ví dụ 8. Có 3 bạn nữ Nga, Dung, Hoa và 2 bạn nam Khánh, Thành đăng kí tham gia văn nghệ. Cô chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên 2 bạn để tham dự. Mô tả kết quả thuận lợi của biến cố “Hai bạn được chọn có cả nam và nữ”.

Hướng dẫn giải:

Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Hai bạn được chọn có cả nam và nữ” là: Nga và Khánh; Nga và Thành; Dung và Khánh; Dung và Thành; Hoa và Khánh; Hoa và Thành.

Dạng 5. Bài toán tính xác suất liên quan đến chọn vật, chọn người

Phương pháp giải:  Sử dụng cách tính xác suất của một biến cố ở mục 5. Cách tính xác suất của một biến cố trong phần I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.

Ví dụ 9. Có 3 bạn nữ Nga, Dung, Hoa và 2 bạn nam Khánh, Thành đăng kí tham gia văn nghệ. Cô chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên 2 bạn trong số các bạn đăng kí để tham dự. Tính xác suất của biến cố “Hai bạn được chọn có cả nam và nữ”.

Hướng dẫn giải:

Xét phép thử là cô chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên 2 bạn trong số các bạn đăng kí để tham dự.

Kí hiệu các bạn Nga, Dung, Hoa, Khánh, Thành lần lượt là N, D, H, K, T.

Ta liệt kê các kết quả có thể xảy ra khi cô chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên 2 bạn là: (N, D); (N, H); (N, K); (N, T); (D, H); (D, K); (D, T); (H, K); (H, T); (K, T).

Vậy không gian mẫu của phép thử là: Ω = {(N, D); (N, H); (N, K); (N, T); (D, H); (D, K); (D, T); (H, K); (H, T); (K, T)}.

Tập Ω có 10 phần tử.

Vì việc chọn 2 bạn học sinh là ngẫu nhiên nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Theo Ví dụ 8, có 6 biến cố thuận lợi cho biến cố $A:$ “Hai bạn được chọn có cả nam và nữ”.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left(A\right)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}.$

Dạng 6. Bài toán tính xác suất liên quan đến chọn số, câu hỏi

Phương pháp giải:  Sử dụng cách tính xác suất của một biến cố ở mục 5. Cách tính xác suất của một biến cố trong phần I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.

Ví dụ 10. Trong các số $0;2;5;6;15;203;68;125;171.$ Tính xác suất của biến cố lấy được một số nguyên tố trong các số đã cho.

Hướng dẫn giải:

Dãy $0;2;5;6;15;203;68;125;171$ có tất cả 9 số nên số phần tử của không gian mẫu là 9.

Vì việc lấy một số trong các số đã cho là ngẫu nhiên nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Có 3 số nguyên tố trong dãy số đã cho là: $2;5;203.$

Vậy xác suất của biến cố lấy được một số nguyên tố trong các số đã cho là: $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$

Ví dụ 11. Trong một cuộc thi có 30 câu hỏi môn Toán, 25 câu hỏi môn Khoa học, 15 câu hỏi môn Tiếng Anh, 18 câu hỏi môn Ngữ văn. Tính xác suất để An bốc được câu hỏi môn Khoa học.

Hướng dẫn giải:

Có tổng cộng: $30+25+15+18=88$(câu) nên số phần tử của không gian mẫu là 88.

Có 25 khả năng An có thể bốc được câu hỏi môn Khoa học.

Vậy xác suất để An bốc được câu hỏi môn Khoa học là: $\frac{25}{88}.$

Dạng 7. Bài toán tính xác suất liên quan đến gieo xúc xắc và đồng xu

Phương pháp giải:  Sử dụng cách tính xác suất của một biến cố ở mục 5. Cách tính xác suất của một biến cố trong phần I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.

Ví dụ 12. Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai con xúc xắc bằng 7.

Hướng dẫn giải:

Phép thử là gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất.

Kết quả của phép thử là một cặp số $\left(a,b\right),$ trong đó $a$ và $b$ tương ứng là số xuất hiện trên mặt con xúc xắc thứ nhất và thứ hai.

Ta liệt kê được tất cả các kết quả có thể của phép thử bằng cách lập bảng như sau:

Khi đó không gian mẫu có 36 phần tử.

Vì việc gieo xúc xắc là ngẫu nhiên nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Có 6 kết quả thuận lợi của biến cố “Tổng số chấm xuất hiện ở hai con xúc xắc bằng 7” là: (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1).

Vậy xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai con xúc xắc bằng 7 là: $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}.$

Dạng 8. Bài toán tính xác suất liên quan đến xếp chỗ

Phương pháp giải:  Sử dụng cách tính xác suất của một biến cố ở mục 5. Cách tính xác suất của một biến cố trong phần I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.

Ví dụ 13. Xếp 4 bạn Yến, Trang, Hùng, Nhung thành một hàng. Tính xác suất để Yến và Trang đứng cạnh nhau.

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu bốn bạn Yến, Trang, Hùng, Nhung lần lượt là: Y, T, H, N.

Không gian mẫu của phép thử là: Ω = {(Y, T, H, N); (Y, T, N, H); (Y, H, T, N); (Y, H, N, T); (Y, N, T, H); (Y, N, H, T); (T, Y, H, N); (T, Y, N, H); (T, H, Y, N); (T, H, N, Y); (T, N, Y, H); (T, N, H, Y); (H, Y, T, N); (H, Y, N, T); (H, T, Y, N); (H, T, N, Y); (H, N, Y, T); (H, N, T, Y); (N, Y, T, H); (N, Y, H, T); (N, T, Y, H); (N, T, H, Y); (N, H, Y, T); (N, H, T, Y}.

Vậy không gian mẫu có 24 phần tử.

Vì việc xếp chỗ vào một hàng là ngẫu nhiên nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Quan sát không gian mẫu ta thấy có 12 khả năng Yến và Trang đứng cạnh nhau là: (Y, T, H, N); (Y, T, N, H); (T, Y, H, N); (T, Y, N, H); (H, Y, T, N); (H, T, Y, N); (H, N, Y, T); (H, N, T, Y); (N, Y, T, H); (N, T, Y, H); (N, H, Y, T); (N, H, T, Y}.

Vậy xác suất để Yến và Trang đứng cạnh nhau là: $\frac{12}{24}=\frac{1}{2}.$

Dạng 9. Bài toán tính xác suất liên quan đến hình học

Phương pháp giải:  Sử dụng cách tính xác suất của một biến cố ở mục 5. Cách tính xác suất của một biến cố trong phần I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM.

Ví dụ 14. Cho 5 đoạn thẳng có độ dài là $3 \text{cm},4 \text{cm},6 \text{cm},7 \text{cm},9 \text{cm}.$ Chọn ngẫu nhiên 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn đó. Tính xác suất để 3 đoạn được chọn tạo thành một tam giác.

Hướng dẫn giải:

Số cách lấy ra 3 đoạn bất kì trong 5 đoạn là chính là không gian mẫu.

Có các khả năng đối với độ dài đoạn thẳng khi lấy ra 3 đoạn trong 5 đoạn là:

Không gian mẫu có 10 phần tử.

Để bộ ba độ dài $a\text{ cm},b\text{ cm},c\text{ cm}$ là độ dài ba cạnh của tam giác thì bộ ba độ dài đó cần thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:

$c<a+b$ (với $c$ là độ dài lớn nhất).

Trong các bộ độ dài trên, có 7 bộ độ dài như sau có thể tạo thành một tam giác là:

Vậy xác suất để 3 đoạn tháng trong 5 đoạn đã cho tạo thành một tam giác là: $\frac{7}{10}.$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Trong hộp có 3 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Tính xác suất để bóc được 1 viên bi màu xanh?

Bài 2. Cho hai túi I và II, mỗi túi chứa 3 tấm thẻ được ghi các số $1,4,7.$ Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và ghép thành số có hai chữ số, với chữ số trên tấm thẻ rút ra từ túi I là chữ số hàng chục. Tính xác suất của biến cố “Số tạo thành chia hết cho 2”.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Bảng tần số. Biều đồ tần số

• (Ôn thi Toán vào 10) Bảng tần số tương đối. Biều đồ tần số tương đối

• (Ôn thi Toán vào 10) Tần số tương đối ghép nhóm. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---