Trọn bộ công thức Toán 8 Học kì 1, Học kì 2 (quan trọng)

Trang trước Trang sau

Nhằm mục đích giúp học sinh dễ dàng nhớ và nắm vững các công thức Toán 8, VietJack biên soạn tài liệu trọn bộ công thức Toán 8 Học kì 1, Học kì 2 sách mới Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều Đại số và Hình học đầy đủ công thức quan trọng, lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 8 vận dụng và làm bài tập thật tốt môn Toán 8.

Trọn bộ công thức Toán 8 Học kì 1, Học kì 2 (quan trọng)

Lưu trữ: Công thức Toán 8 (sách cũ)

Chương 1: Tứ giác

Công thức nhân đơn thức đa thức với đa thức

I. Lý thuyết

1. Công thức nhân đơn thức với đa thức.

A ( B + C ) = A.B + A.C

A ( B + C + D ) = A.B + A.C + A.D

Với A, B, C, D là các đơn thức.

Giải thích: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau.

Ví dụ:

a) 2x ( 4x³ - x + 1)

= 2x.4x³ - 2x.x + 2x.1

= 2.4.x.x³ - 2x² + 2x

= 8x⁴ - 2x² + 2x

b) 6x² ( 4x⁵ - Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức x + 1 )

= 6x².4x⁵ - 6x². Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức x + 6x².1

= 6.4.x².x⁵- 6. Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức .x².x + 6x²

= 24x⁷ - 2x³+ 6x²

2. Công thức nhân đa thức với đa thức

( A + B )( C + D ) = A( C + D ) + B( C + D )

= A.C + A.D + B.C + B.D

Giải thích: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai rồi cộng các tích lại với nhau.

Chú ý: Ta cần sử dụng các công thức lũy thừa cơ bản để đưa các đơn thức, đa thức về dạng thu gọn.

* Công thức lũy thừa:

a,b ∈ Ζ; m,n ∈ N

a^m.aⁿ = a^m+n

a^m : aⁿ= a^m-n ( a ≠ 0, m ≥ n )

(ab)^m= a^mbⁿ

(a^m)ⁿ= a^m.n

Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức

a⁰= 1

a¹ = a

Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức

Ví dụ:

a) ( x + 1 )( x – 2 )

= x ( x -2 ) + 1.( x - 2 )

= x.x - x.2 + 1.x - 1.2

= x² - 2x + x -2

= x²+ ( -2x + x ) -2

= x² - x - 2

b) ( x - 2 )( x² - 2x )

= x ( x² - 2x ) - 2( x² - 2x )

= ( x. x² - x.2x ) - ( 2x² - 2.2x )

= ( x³ - 2x² ) - ( 2x² - 4x )

= x³- 2x² - 2x² + 4x

= x³+ ( -2x² - 2x² ) + 4x

= x³ - 4x² + 4x

II. Bài tập:

Thực hiện phép nhân:

a) - 2x²( 2x² - 3x - Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức )

b) 3xy( x³ + y )

c) 4xy² ( x + x³ - 3y)

d) 5xy ( x² + 3xy + y³)

e) ( 2xy + 1 )( 2x + 3y )

f) ( Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức xy + x + 3 )( x - 3y + 1 )

g) ( 2x²y - 1 )( 2x + 3y)(x - 2)

h) ( 2y - Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức x )( 2xy + 3x + y)

i) ( Công thức nhân đơn thức, đa thức với đa thức x²y² - x - y)(2x + 3y)

Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

I. Lý thuyết

1. ( a + b )²= a² + 2ab + b²

2. ( a - b )² = a²- 2ab + b²

3. a² - b² = ( a - b )( a + b )

4. ( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5. ( a - b )³ = a³- 3a²b + 3ab² - b³

6. a³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b² )

7. a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² )

1. Bình phương một tổng

Với hai số bất kỳ ta luôn có: Bình phương một tổng sẽ bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai.

( a + b )²= a² + 2ab + b²

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:

a) ( x + 2 )²

b) ( 2x + 1 )²

Hướng dẫn:

a) ( x + 2 )² = x² + 2.x.2 + 2² = x²+ 4x + 4

b) ( 2x + 1 )² = ( 2x )² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1

2. Bình phương một hiệu.

Với hai số bất kỳ ta luôn có: Bình phương một hiệu sẽ bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương số thứ hai.

( a - b )² = a²- 2ab + b²

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:

a) ( x - 3 )² b) ( 2x - 1 )²

Hướng dẫn:

a) ( x - 3 )² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9

b) ( 2x - 1 )² = ( 2x )² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1

3. Hiệu hai bình phương.

Với hai số bất kỳ ta luôn có hiệu hai bình phương bằng tổng của hai số nhân với hiệu của hai số.

a² - b² = ( a - b )( a + b )

Ví dụ: Khai triển các biểu thức sau theo hằng đẳng thức:

a) x² - 16 b) x² - 4y²

Hướng dẫn:

a) x² - 16 = x² - 4² = ( x - 4 )( x + 4 )

b) x² - 4y² = x²- ( 2y )²= ( x - 2y )( x + 2y )

4. Lập phương một tổng.

Lập phương một tổng của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó cộng với lập phương số thứ ba.

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: ( x + 2y )³

Hướng dẫn:

( x + 2y )³= x³ + 3.x².2y + 3.x.( 2y )² + ( 2y )³

= x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³

5. Lập phương một hiệu.

Lập phương một hiệu của hai số bất kỳ sẽ bằng lập phương số thứ nhất trừ đi ba lần bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai, cộng với ba lần bình phương số thứ hai nhân số thứ nhất sau đó trừ đi lập phương số thứ 3.

( a - b )³ = a³- 3a²b + 3ab² - b³

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: ( x - 2y )³

Hướng dẫn:

( x - 2y )³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.( 2y )² - ( 2y )³

= x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³

6. Tổng hai lập phương.

Tổng của hai lập phương của hai số bất kỳ sẽ bằng tổng của hai số sau đó nhân với bình phương thiếu của hiệu số thứ nhất và số thứ hai.

a³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b² )

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: x³ + 8

Hướng dẫn:

x³ + 8 = x³ + 2³ = ( x + 2 )(x² - x.2 + 2² ) = ( x + 2 )( x² - 2x + 4 )

7. Hiệu hai lập phương

Hiệu của hai lập phương của hai số bất kỳ sẽ bằng số thứ nhất trừ đi số thứ hai sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai.

a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² )

Ví dụ: Khai triển biểu thức sau theo hằng đẳng thức: x³ - 27

Hướng dẫn:

x³ - 27 = x³ - 3³ = ( x - 3 )(x² + x.3 + 3² ) = ( x - 3 )(x² + 3x + 9 )

II. Bài tập tự luyện

Ví dụ: Khai triển các hằng đẳng thức sau:

a) ( 2x + 3 )

b) ( 3x - 2 )²

c) ( x + 4 )³

d) 4x² - 16

e) x³ + 125

f) 27x³ - Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

g) x² - 16y²

h) ( x + Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ )²

i) ( 2x + 3y )²

j) ( x - Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ y)²

k) ( 3x - y )³

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

I. Lý thuyết

Khái niệm: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích của những đa thức.

1. Phương pháp đặt nhân tử chung

A.B + A.C = A( B + C )

Giải thích: Phương pháp đặt nhân tử chung trong phân tích đa thức thành nhân tử là nhóm các hạng tử có nhân tử chung.

Ví dụ:

a) 3x² + 6x

= 3x.x + 3x.2

= 3x.( x + 2 )

b) x²y + xy² + x²y²

= xy.x + xy.y + xy.xy

= xy ( x +y + xy )

2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức

( a + b )²= a² + 2ab + b²

( a - b )² = a²- 2ab + b²

a² - b² = ( a - b )( a + b )

( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

( a - b )³ = a³- 3a²b + 3ab² - b³

a³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b² )

a³ - b³ = ( a - b )( a² + ab + b² )

Giải thích: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức là áp dụng các hằng đẳng thức đó để biến tổng thành tích

Ví dụ:

a) 4x² - 16y²

= ( 2x )²- ( 4y )²

= ( 2x - 4y )(2x + 4y)

b) x³ + 6x² + 12x + 7

= x³ + 6x² + 12x + 8 - 1

= x³+ 3.x.2 + 3.x.2² + 2³ - 1

= ( x + 2 )³ - 1

= ( x + 2 -1 ) [( x + 2 )² + ( x + 2 ) + 1]

= ( x + 1 )( x² + 4x + 4 + x + 2 + 1 )

= ( x + 1 )( x² + 5x + 7 )

3. Phương pháp nhóm hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử là nhóm các hạng tử phù hợp nhằm xuất hiện nhân tử chung hoặc sử dụng các hằng đẳng thức.

Ví dụ:

a) x² - 3x + xy - 3y

= ( x² - 3x ) + ( xy - 3y )

= x( x - 3 ) + y ( x-3 )

= ( x - 3 )( x + y )

b) x² - 2x - y² + 1

= x² - 2x + 1 - y²

= ( x² - 2x + 1 ) - y²

= ( x - 1 )² - y²

= ( x - 1 - y )( x - 1 + y )

4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp phối hợp nhiều phương pháp là sửa dụng kết hợp hai hay nhiều phương pháp như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử.

Ví dụ:

2x - 2y + y² - 2xy + x²

= ( 2x - 2y ) + ( y² - 2xy + x² )

= 2( x - y ) + ( x² - 2xy + y² )

= 2( x- y ) + ( x - y )²

= ( x- y )[ 2 + ( x - y)]

5. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử.

Giải thích: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử là tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, sau đó sử dụng phương pháp nhóm hạng tử.

Ví dụ:

x² + 5x + 6

= x² + 2x + 3x + 6

= ( x² + 2x ) + ( 3x + 6 )

= x( x + 2 ) + 3( x + 2 )

= ( x + 2 )( x + 3 )

Chú ý: Với đa thức có dạng ax² + bx + c với ( a ≠ 0 ) ta tách bx = b₁x + b₂x sao cho b₁b₂ = ac

6. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ là đặt các hạng tử giống nhau thành biến mới để đưa đa thức đã cho về một đa thức với biến mới vừa đặt. Sau đó áp dụng các phương pháp cơ bản.

Ví dụ:

x⁴ + 3x² - 4

Đặt x² = t ( t ≥ 0 )

Khi đó đa thức ban đầu trở thành:

t² + 3t - 4

= t² + 4t - t - 4

= t( t + 4 ) - ( t + 4 )

= ( t + 4 )( t - 1 )

Đổi biến t thành x² nên ta có

x⁴ + 3x² - 4 = ( x² + 4 )( x² - 1 )

7. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt hạng tử là thêm bớt các hạng tử mới để cùng với các hạng tử cũ có thể ghép thành hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung.

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

x⁴ + 4

Lời giải:

x⁴ + 4

= ( x² )² + 2²

= ( x² )² + 4x² - 4x² + 2²

= ( x2 )²+ 4x² + 2²- 4x²

= (( x²)²+ 4x²+ 2²) - (2x)²

= (( x²)²+ 2.x².2+ 2²) - (2x)²

= ( x² + 2 )²- (2x)²

= ( x²+ 2 - 2x )( x²+ 2 + 2x )

..........................

Công thức Tứ giác

I. Lý thuyết

1. Khái niệm

Tứ giác là một đa giác gồm 4 cạnh và 4 đỉnh, trong đó không có bất kỳ 2 đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng.

Công thức Tứ giác

2. Tứ giác lồi

- Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng với bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác đó.

- Trái ngược với tứ giác lồi là tứ giác lõm

Tứ giác ABCD là tứ giác lồi.

Tứ giác EFGH là tứ giác lõm.

Chú ý khi làm bài tập ta chỉ quan tâm đến tứ giác lồi, vì vậy nếu đề bài chỉ nói là tứ giác thì ta hiểu đấy là tứ giác lồi

Xét tứ giác

Công thức Tứ giác

Khi ta đọc tên tứ giác ta chỉ đọc theo một chiều:

Ví dụ:

Cách đọc đúng là: ABCD; BADC;...

Cách đọc sai là: ACBD; BCAD;...

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang

I. Lý thuyết

1. Đường trung bình của tam giác

a) Định nghĩa:

Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh tam giác đó.

b) Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

c) Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba.

Xét hình vẽ:

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Tam giác ABC có:

M là trung điểm AB

N là trung điểm AC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang

2. Đường trung bình của hình thang.

a) Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai cạnh bên hình thang.

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang

ABCD là hình thang, AB // CD

E là trung điểm AD, F là trung điểm BC

EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

b) Định lí 2: Đường thẳng đi qua trung điểm của cạnh bên thứ nhất và song song với cạnh đáy thì nó đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai của hình thang.

c) Định lí 3: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Xét hình thang ABCD có đường trung bình là FE

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang

II. Bài tập

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E, kẻ tia My song song với AB và cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC.

b) AM là đường trung trực của EF

Lời giải:

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang

+ Vì Mx // AC, Mx qua trung điểm M của BC nên Mx đi qua trung điểm của AB

Mà Mx cắt AB tại E nên E là trung điểm của AB (1)

+ Vì My // AB, My đi qua trung điểm M của BC nên My đi qua trung điểm của AC.

Mà My cắt AC tại F nên F là trung điểm của AC (2)

Từ (1) và (2) EF là đường trung bình của tam giác ABC

b) Vì ABC là tam giác cân tại A nên AM là đường trung tuyến đồng thời cũng là đường cao

=> AM ⊥ BC

Vì EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> EF // BC
mà AM ⊥ BC

=> EF ⊥ AM (3)

Gọi I là giao điểm của EF và AM

Vì MF // AB, M là trung điểm của BC nên MF là đường trung bình của tam giác ABC

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang

Ta có: MF // AB => MF // AE

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang nên MF = AE

Lại có: MF // AE

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang (hai góc so le trong)

Xét tam giác IEA và tam giác IFM có

Công thức Đường trung bình của tam giác, của hình thang

=> ΔIEA = ΔIFM (cạnh huyền – góc nhọn)

=> IE = IF (4)

Từ (3) và (4) => AM là đường trung trực của EF.

..........................

Trên đây là tóm lược một số nội dung có trong tổng hợp công thức Toán lớp 8 Học kì 1 và Học kì 2, mời quí bạn đọc vào từng bài để xem đầy đủ, chi tiết!

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án các lớp các môn học