Công thức cộng, trừ hai phân thức đầy đủ (có giải chi tiết)

---

---

Bài viết Công thức cộng, trừ hai phân thức hay, chi tiết Toán 8 hay nhất gồm 2 phần: Lý thuyết và Một số ví dụ áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức cộng, trừ hai phân thức hay, chi tiết.

I. Lý thuyết

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

Với A, B, C là các đa thức, $B \ne 0$ ta có:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B}$

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức

Bước 1: Quy đồng mẫu thức

Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

Với A, B, C, D là các đa thức, $B,D\ne 0$ ta có:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{A.D}{B.D}+\frac{C.B}{D.B}=\frac{A.D+C.B}{B.D}$

c) Tính chất của phép cộng

Cho ba phân thức $\frac{A}{B};\frac{C}{D};\frac{E}{F}$ với $(B;D;F\ne 0)$

+ Tính giao hoán: $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$

+ Tính kết hợp: $(\frac{A}{B}+\frac{C}{D})+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+(\frac{C}{D}+\frac{E}{F})$

+ Cộng với 0: $\frac{A}{B}+0=0+\frac{A}{B}=\frac{A}{B}$.

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

- Hai phân thức  được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.

- Phân thức $\frac{-A}{B}$là phân thức đối của $\frac{A}{B}$ với $(B\ne 0)$ và ngược lại phân thức $\frac{A}{B}$ là phân thức đối của phân thức $\frac{-A}{B}$.

 Ta có: $\frac{-A}{B}+\frac{A}{B}=0$.

Như vậy: $-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}$ và $-\frac{-A}{B}=\frac{A}{B}$.

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số

Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$cho phân thức $\frac{C}{D}$ ta lấy phân thức $\frac{A}{B}$ cộng với phân thức đối của $\frac{C}{D}$:

$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left(\frac{-C}{D}\right)$ với $(B;D\ne 0)$.

II. Các ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện các phép tính:

a)  $A=\frac{x^2}{x+2}+\frac{4x+4}{x+2}$ với $x\ne -2$;

b) $B=\frac{1}{x{y}^2}+\frac{x-y}{x^2{y}^2}+\frac{1}{x^{2}y}$ với $x\ne 0;y\ne 0$.

Lời giải:

a) $$\begin{gathered} A=\frac{x^2}{x+2}+\frac{4x+4}{x+2} \\ \iff A=\frac{x^2+4x+4}{x+2} \\ \iff A=\frac{{(x+2)}^2}{x+2} \\ \iff A=x+2 \end{gathered}$$

Vậy A = x + 2 với $x\ne -2$.

b) 

$$\begin{gathered} B=\frac{1}{x{y}^2}+\frac{x-y}{x^2{y}^2}+\frac{1}{x^{2}y} \\ \iff B=\frac{x}{x^2{y}^2}+\frac{x-y}{x^2{y}^2}+\frac{y}{x^2{y}^2} \\ \iff B=\frac{x+x-y+y}{x^2{y}^2} \\ \iff B=\frac{2x}{x^2{y}^2} \\ \iff B=\frac{2}{x{y}^2} \end{gathered}$$

Vậy $B=\frac{2}{x{y}^2} với x\ne 0;y\ne 0$.

Ví dụ 2: Thực hiện các phép tính:

a) $A=\frac{4xy-1}{5x^{2}y}-\frac{2xy-1}{5x^{2}y}$với $x\ne 0;y\ne 0$.

b) $B=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}-\frac{2x}{x^2-9}$với $x\ne \pm 3$.

Lời giải:

a)

$$\begin{gathered} A=\frac{4xy-1}{5x^{2}y}-\frac{2xy-1}{5x^{2}y} \\ \iff A=\frac{(4xy-1)-(2xy-1)}{5x^{2}y} \\ \iff A=\frac{4xy-1-2xy+1}{5x^{2}y} \\ \iff A=\frac{(4xy-2xy)+(1-1)}{5x^{2}y} \\ \iff A=\frac{2xy}{5x^{2}y} \\ \iff A=\frac{2}{5x} \end{gathered}$$

Vậy $A=\frac{2}{5x}$ với $x\ne 0;y\ne 0$.

b)

$$\begin{gathered} B=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}-\frac{2x}{x^2-9} \\ \iff B=\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x-3}-\frac{2x}{(x-3)(x+3)} \\ \iff B=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}-\frac{x+3}{(x-3)(x+3)}-\frac{2x}{(x-3)(x+3)} \\ \iff B=\frac{(x-3)-(x+3)-2x}{(x-3)(x+3)} \\ \iff B=\frac{x-3-x-3-2x}{(x-3)(x+3)} \\ \iff B=\frac{(x-x-2x)+(-3-3)}{(x-3)(x+3)} \\ \iff B=\frac{-2x-6}{(x-3)(x+3)} \\ \iff B=\frac{-2(x+3)}{(x-3)(x+3)} \\ \iff B=\frac{-2}{x-3} \end{gathered}$$

Vậy $B=\frac{-2}{x-3}$ với $x\ne \pm 3$.

Ví dụ 3: Thực hiện phép tính:

$A=\frac{1}{x^2-x+1}+1-\frac{x^2+2}{x^3+1}$ với $x\ne -1$.

Lời giải:

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{x^2-x+1}+1-\frac{x^2+2}{x^3+1} \\ \iff A=\frac{1}{x^2-x+1}+1-\frac{x^2+2}{(x+1)(x^2-x+1)} \\ \iff A=\frac{x+1}{(x+1)(x^2-x+1)}+\frac{x^3+1}{(x+1)(x^2-x+1)}-\frac{x^2+2}{(x+1)(x^2-x+1)} \\ \iff A=\frac{(x+1)+(x^3+1)-(x^2+2)}{(x+1)(x^2-x+1)} \\ \iff A=\frac{x+1+x^3+1-x^2-2}{(x+1)(x^2-x+1)} \\ \iff A=\frac{x^3-x^2+x+(1+1-2)}{(x+1)(x^2-x+1)} \\ \iff A=\frac{x^3-x^2+x}{(x+1)(x^2-x+1)} \\ \iff A=\frac{x(x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} \\ \iff A=\frac{x}{x+1} \end{gathered}$$

Vậy $A=\frac{x}{x+1}$ với $x\ne -1$.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 8 quan trọng hay khác:

• Công thức nhân, chia phân thức hay, chi tiết

• Công thức tính diện tích hình chữ nhật hay, chi tiết

• Công thức tính diện tích hình vuông hay, chi tiết

• Công thức tính diện tích tam giác hay, chi tiết

• Công thức tính diện tích hình thang hay, chi tiết

---

---

---