Phép nhân, phép chia phân thức đại số lớp 8 (hay, chi tiết)

Trang trước Trang sau

Bài viết Phép nhân, phép chia phân thức đại số trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm về Phép nhân, phép chia phân thức đại số từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Quy tắc nhân hai phân thức:

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$ (với B, D ≠ 0).

– Phân thức $\frac{D}{C}$ là phân thức nghịch đảo của $\frac{C}{D}$ . Ta có $\frac{C}{D} \cdot \frac{D}{C} = 1.$

– Phép nhân phân thức có các tính chất:

+ Giao hoán: $\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{C}{D} \cdot \frac{A}{B}$ (với B, D ≠ 0).

+ Kết hợp: $(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D}) \cdot \frac{E}{F} = \frac{A}{B} \cdot (\frac{C}{D} \cdot \frac{E}{F})$ (với B, D, F ≠ 0).

+ Phân phối với phép cộng: $\frac{A}{B} \cdot (\frac{C}{D} + \frac{E}{F}) = \frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} + \frac{A}{B} \cdot \frac{E}{F}$ (với B, D, F ≠ 0).

Quy tắc chia của hai phân thức:

$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$ (với B, D ≠ 0).

Chú ý: Sau khi thực hiện phép nhân và phép chia phân thức, ta rút gọn kết quả (nếu có).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Với điều kiện các phân thức đều có nghĩa, thực hiện phép tính:

a) $\frac{2 x^{2} y}{11 y^{2}} \cdot \frac{121 x y^{3}}{- 6 x^{5}}$ ; b) $\frac{x^{3} - 8}{5 x + 20} \cdot \frac{x^{2} + 4 x}{x^{2} + 2 x + 4}$ ;

c) $\frac{x^{3} + 1}{x - 2} : \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 4}$ ; d) $\frac{x + 1}{x + 2} : (\frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 2})$ .

Hướng dẫn giải:

a) $\frac{2 x^{2} y}{11 y^{2}} \cdot \frac{121 x y^{3}}{- 6 x^{5}} = \frac{2 x^{2} y \cdot 121 x y^{3}}{11 y^{2} \cdot (- 6 x^{5})} = - \frac{11 y^{2}}{3 x^{2}}$ ;

b) $\frac{x^{3} - 8}{5 x + 20} \cdot \frac{x^{2} + 4 x}{x^{2} + 2 x + 4} = \frac{(x^{3} - 8) \cdot (x^{2} + 4 x)}{(5 x + 20) \cdot (x^{2} + 2 x + 4)}$

$= \frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) \cdot x (x + 4)}{5 (x + 4) \cdot (x^{2} + 2 x + 4)} = \frac{x (x - 2)}{5};$

c) $\frac{x^{3} + 1}{x - 2} : \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 4} = \frac{x^{3} + 1}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - x + 1}$

$= \frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot (x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x^{2} - x + 1)} = (x + 1) (x + 2) = x^{2} + 3 x + 2$ ;

d) $\frac{x + 1}{x + 2} : (\frac{x + 1}{x + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 2}) = \frac{x + 1}{x + 2} : \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 1} = 1.$

Ví dụ 2. Cho hai phân thức $P = \frac{5 x^{2} - 10 x y}{x - 2 y}$ và $Q = \frac{- 5}{x + 2 y}$ với điều kiện hai phân thức có nghĩa.

a) Thực hiện phép nhân, chia hai phân thức.

b) Tìm phân thức nghịch đảo của hai phân thức vừa tìm được ở câu a).

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

⦁ $P \cdot Q = \frac{5 x^{2} - 10 x y}{x - 2 y} \cdot \frac{- 5}{x + 2 y}$

$= \frac{(5 x^{2} - 10 x y) \cdot (- 5)}{(x - 2 y) \cdot (x + 2 y)} = \frac{- 25 x (x - 2 y)}{(x - 2 y) (x + 2 y)} = \frac{- 25 x}{x + 2 y} .$

⦁ $P : Q = \frac{5 x^{2} - 10 x y}{x - 2 y} : \frac{- 5}{x + 2 y} = \frac{5 x^{2} - 10 x y}{x - 2 y} \cdot \frac{x + 2 y}{- 5}$

$= \frac{(5 x^{2} - 10 x y) \cdot (x + 2 y)}{(x - 2 y) \cdot (- 5)} = \frac{5 x (x - 2 y) (x + 2 y)}{- 5 (x - 2 y)}$

$= \frac{x (x + 2 y)}{- 1} = - x^{2} - 2 x y .$

b) Phân thức nghịch đảo của $\frac{- 25 x}{x + 2 y}$ là $\frac{x + 2 y}{- 25 x};$

Phân thức nghịch đảo của –x² – 2xy là $\frac{- 1}{x^{2} + 2 x y} .$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Với điều kiện các phân thức đều có nghĩa, rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

a) $A = \frac{x^{2} - 16}{2 x + 5} \cdot \frac{6}{4 - x}$ tại x = – 1;

b) $B = (\frac{x^{2} - 1}{x + 5} \cdot \frac{2 x + 10}{x^{2} - x}) : \frac{x^{2} + x - 2 x - 2}{3}$ tại x = 12.

Bài 2. Thửa ruộng nhà ông Cường có dạng hình chữ nhật với chiều dài là $\frac{6 x}{x + 1}$ và chiều rộng là $\frac{x + 1}{x - 5}$ (đơn vị mét).

a) Hãy viết công thức tính chu vi và diện tích của thửa ruộng.

b) Tính diện tích của thửa ruộng khi x = 6.

Bài 3. Cho biểu thức $M = (1 - \frac{4}{x - 1}) : \frac{9 - x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}$ với x ≠ 0; x ≠ 1.

a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định.

b) Rút gọn biểu thức M;

c) Tìm các giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên.

Bài 4. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $A = (\frac{y}{x^{2} - x y} + \frac{x}{x y - y^{2}}) \cdot (\frac{x^{2} y - x y^{2}}{x^{2} - y^{2}})$ ;

b) $B = (- \frac{- 2 x + 10}{x} + \frac{5 x + 50}{x^{2} + 5 x} + \frac{x^{2}}{5 x + 25}) : \frac{3 x + 15}{7} .$

Bài 5. Với điều kiện các phân thức đều có nghĩa, tìm biểu thức K trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{x^{2} + 5 x}{x - 3} \cdot K = \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 3 x} .$

b) $K \cdot \frac{- 4 x + 3}{360 x + 150} + K \cdot \frac{6 - 5 x}{360 x + 150} = \frac{1 - x}{12 x + 5} .$

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án các lớp các môn học