Tổng hợp Công thức Toán 12 (cả năm, sách mới)

---

---

Việc nhớ chính xác một công thức Toán lớp 12 trong hàng trăm công thức không phải là việc dễ dàng, với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc nhớ Công thức, VietJack biên soạn bản tóm tắt Công thức Toán lớp 12 đầy đủ, chi tiết Giải tích và Hình học được biên soạn theo từng chương. Hi vọng loạt bài này sẽ như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán lớp 12 hơn.

Chủ đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

• Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Phương pháp tính cực trị của hàm số

• Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số

• Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số

• Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

• Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Chủ đề: Vectơ và hệ tọa độ trong không gian

• Công thức tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

• Công thức tích của một số với một vectơ trong không gian

• Công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

• Công thức tọa độ của một điểm

• Công thức tọa độ của một vectơ

• Biểu thức tọa độ của phép cộng, trừ, nhân một số với vectơ

• Công thức tọa độ trung điểm

• Công thức tọa độ trọng tâm tam giác

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

Chủ đề: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Chủ đề: Nguyên hàm. Tích phân

• Các công thức về tính chất của nguyên hàm

• Công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

• Các công thức về tính chất của tích phân

• Công thức tích phân của một số hàm số sơ cấp

• Công thức tính diện tích hình phẳng

• Công thức tính thể tích của vật thể, của khối tròn xoay

Chủ đề: Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian

• Công thức viết phương trình mặt phẳng

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Công thức viết phương trình đường thẳng

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức viết phương trình mặt cầu

• Công thức xác định tâm và bán kính mặt cầu

Chủ đề: Xác suất có điều kiện

• Công thức tính xác suất có điều kiện

• Công thức nhân xác suất

• Công thức xác suất toàn phần

• Công thức Bayes

---

---

---

Lưu trữ: Công thức Toán 12 (sách cũ)

Tài liệu tóm tắt công thức Toán 12 Giải tích và Hình học liệt kê các công thức quan trọng nhất:

• Công thức Toán 12 Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

• Công thức Toán 12 Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số logarit

• Công thức Toán 12 Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

• Công thức Toán 12 Chương 4: Số phức

• Công thức Toán 12 Chương 1: Khối đa diện

• Công thức Toán 12 Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

• Công thức Toán 12 Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Hi vọng với bài tóm tắt công thức Toán 12 này, học sinh sẽ dễ dàng nhớ được công thức và biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 12. Mời các bạn đón xem:

1. Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu +)

+ Tập xác định:

+ Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức )

+ Đạo hàm:

- Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình tìm nghiệm.

- Đối với hàm phân thức ; (hoặc < 0 )

+ Bảng biến thiên:

Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.

+ Bảng giá trị: (5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức )

+ Vẽ đồ thị:

2. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định:

a. Hàm bậc 3: y = ax³ + bx² + cx + d

Tập xác định .

Đạo hàm y' = ax² + 2bx + c là 1 tam thức bậc 2.

- Hàm số đồng biến trên

- Hàm số nghịch biến trên

b. Hàm nhất biến:

Tập xác định

Đạo hàm có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.

- Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

⇔ y' > 0, ∀x ∈ D ⇔ ad - cb > 0 (Không có dấu “=”)

- Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

⇔ y' < 0, ∀x ∈ D ⇔ ad - cb < 0 (Không có dấu “=”)

. Cực trị của hàm số:

- Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại

- Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại

- Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại

a. Hàm bậc 3: y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

⇒ y' = ax² + 2bx + c

- Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu) ⇔ phương trình y = 0 có 2 nghiệm phân biệt

- Hàm số không có cực trị ⇔ Phương trình y = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

b. Hàm bậc 4 (trùng phương): y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

⇒ y' = 4ax³ + 2bx + c

Ta có: y' = 0 ⇔ y' = 4ax³ + 2bx + c

- Hàm số có 3 cực trị ⇔ Phương trình ⇔ có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 .

- Hàm số có 1 cực trị ⇔ Phương trình ⇔ có 1 nghiệm

⇔ Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 .

4. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) xác định trên 1 đoạn [a;b]

- Hàm số liên tục trên đoạn [a;b]

- Tính đạo hàm .

Giải phương trình y = 0 . Tìm các nghiệm x_i ∈ [a;b] (i = 1,2,3....)

- Tính y(a) , y(b) , y(x_i)

- So sánh và kết luận.

b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên 1 khoảng hoặc nửa khoảng (a;b),(a;+∞),(-∞;b),[a;b),(a;b] …

- Tìm tập xác định.

- Tính đạo hàm

- Lập bảng biến thiên

- Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận.

5. Tìm giao điểm của hai đường.

- Cho hai đồ thị (C₁): y = f₁(x) và (C₂): y = f₂(x) .

- Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là : f₁(x) = f₂x (*)

- Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm, thế vào 1 trong 2 hàm số y = f₁(x) hoặc y = f₂(x) được tung độ giao điểm.

6. Tìm điều kiện của tham số m để hai đường cong cắt nhau với số điểm cho trước.

- Cho hai đồ thị (C₁): y = f₁(x) và (C₂): y = f₂(x) .

- Phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂) là : f₁(x) = f₂x (*)

- (C₁) và (C₂) cắt nhau tại n điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có n nghiệm phân biệt.

Lưu ý : Trục hoành có phương trình

7. Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình.

Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình .

Biến đổi phương trình h(x,m) = 0 về dạng f(x) = g(m) (*).

- Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai đồ thị :

- Bảng kết quả :

Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm, đúng 4 điểm …)

8. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong (C). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M₀(x₀; y₀) là: y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀

Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm

- Tính đạo hàm y'

- Thay x₀ vào y tính y₀

- Thay x₀ vào y tính f'(x₀)

- Phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀

Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm y₀ .

- Giải phương trình f(x₀) = y₀ tìm x₀ .

- Thay x₀ vào y tính f'(x₀)

- Phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k .

- Giả sử tiếp điểm là M₀(x₀; y₀)

- Giải phương trình f'(x₀) = k tìm x₀ .

- Thay x₀ vào y ta tìm được y₀ .

- Phương trình tiếp tuyến: y = f'(x₀)(x - x₀) + y₀

Lưu ý:

- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì f'(x₀) = a .

- Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) thì .

I. Lũy thừa

1. Công thức lũy thừa:

Các tính chất quan trọng:

- Nếu a > 1 thì a^α > a^β ⇔ α > β

- Nếu 0 < a < 1 thì a^α > a^β ⇔ α < β thì α < β

2. Công thức căn bậc n

II. Hàm số mũ

1. Định nghĩa: Cho a > 0, a ≠ 1 ( cố định). Hàm số mũ là hàm số xác định bởi công thức : y = a^x ( x ∈ R)

2. Tính chất:

a) Hàm số mũ liên tục trên R

b) y = a^x > 0 mọi x ∈ R

c) a > 1 : Hàm số đồng biến

a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ < x₂

d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến

a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ > x₂

Chú ý : a^x₁ < a^x₂ ⇔ x₁ = x₂

3. Đồ thị :

4. Phương trình và bất phương trình mũ:

a. Phương trình mũ:

+) a^x = b ⇔ x = log_ab

+) a^fx = b ⇔ f(x) = log_ab

+) a^(fx) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

b. Bất phương trình mũ:

+) a^x > b ⇔ x > log_ab nếu a > 1

a^fx > b ⇔ f(x) > log_ab nếu a > 1

+) a^x > b ⇔ x < log_ab nếu 0 < a < 1

a^fx > b ⇔ f(x) < log_ab nếu 0 < a < 1

+) a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) > g(x) nếu a > 1

a^f(x) > a^g(x) ⇔ f(x) < g(x) nếu 0 < a < 1

III. Hàm số Lôgarit

1. Định nghĩa :

a) Cho a > 0, a ≠ 1 , N > 0

Logarit cơ số a của N là số mũ M sao cho : a^M = N

Ký hiệu : log_aN = M

b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a ≠ 1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = log_ax ( với x > 0, a > 0, a ≠ 1)

2. Đồ thị:

3. Công thức lôgarit:

+) log_a1 = 0

+) log_aa = 1

+) log_ab^α = αlog_ab Đặc biệt:

+)

+) log_abc = log_b + log_ac (lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit)

+) (lôgarit của thương bằng hiệu các lôgarit)

+) (đổi cơ số)

+)

+)log_ab.log_bc = log_ac

+)a ^log_bc = c^log_ba Đặc biệt: a ^loa_ab = b

Các tính chất quan trọng:

- Nếu a > 1 thì log_a α > log_a β ⇔ α > β

- Nếu 0 < a < 1 thì log_a α > log_a β ⇔ α < β

4. Phương trình và bất phương trình lôgarit:

a. Phương trình lôgarit:

+) log_ax = b ⇔ x = a^b

+) log_af(x) = b ⇔ f(x) = a^b

+) log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x)

b.Bất phương trình lôgarit:

+) log_ax > b ⇔ x > a^b nếu a > 1

log_af(x) > b ⇔ f(x) > a^b nếu a > 1

+) log_ax > b ⇔ x < a^b nếu 0 < a < 1

log_af(x) > b ⇔ f(x) < a^b nếu 0 < a < 1

+) log_af(x) > log_a g(x) ⇔ f(x) > g(x) nếu a > 1

+) log_af(x) > log_a g(x) ⇔ f(x) < g(x) nếu 0 < a < 1

Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit:

+) a^f(x) → Không có điều kiện.

+) log_f(x)g(x) Điều kiện:

+) Đặt t = a^x → Điều kiện: t > 0

+) Đặt t = log_ax → Không có điều kiện t

---

---

---