Công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp (siêu hay)

Công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

1. Công thức

+ Nguyên hàm của hàm số lũy thừa:

Với α ≠ – 1, ta có: $\int x^{\alpha }d\text{x}=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C$.

+ Nguyên hàm của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$:

$\int \frac{1}{x}d\text{x}=\ln \left|x\right|+C$.

+ Nguyên hàm của hàm số lượng giác:

+ Nguyên hàm của hàm số mũ:

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\int a^{x}d\text{x}=\frac{a^x}{\ln a}+C$.

$\int e^{x}d\text{x}=e^x+C$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = x³ + 3x + 2;

b) f(x) = $x^2-3x+\frac{1}{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$;

c) f(x) = (x + 1)(x + 2);

d) f(x) = $\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}$.

Lời giải

Ví dụ 2. Tìm:

a) $\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}+x^4\right)dx$;

b) $\int \left(3\cos x-3^x\right)dx$;

c) $\int \left(\frac{1}{x}-e^x\right)dx$.

Lời giải

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm:

a) $\int \left(2x^8-3x^2+2x^4\right)dx$;

b) $\int \frac{32}{9x}dx$;

c) $\int \left(x^3+\frac{1}{x^4}\right)dx$;

d) $\int \frac{3}{x\sqrt{x}}dx$.

Bài 2. Tìm:

a) $\int 3^{4x}dx$;

b) $\int \left(4\cdot 2^{3x}-e^{x+2}\right)dx$;

c) $\int \left(2\sqrt{x}+\frac{5}{\sqrt[4]{x}}\right)dx$;

d) $\int \frac{{\left(3x-1\right)}^2}{x^2}dx$;

e) $\int \left(4^x+\frac{7}{x^3}\right)dx$.

Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 4cos x + 5sin x; 

b) f(x) = $2\sin x-\frac{4}{{\cos }^{2}x}$;

c) f(x) = $3{\sin }^2\frac{x}{2}$;

d) f(x) = ${\left(\sin \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}\right)}^2$;

e) f(x) = 2x + cot²x.

Bài 4. Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ v₀ = 15 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 3 m/s². Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Các công thức về tính chất của tích phân

• Công thức tích phân của một số hàm số sơ cấp

• Công thức tính diện tích hình phẳng

• Công thức tính thể tích của vật thể, của khối tròn xoay

• Công thức viết phương trình mặt phẳng

---