Công thức tính thể tích của vật thể, của khối tròn xoay (siêu hay)

Công thức tính thể tích của vật thể, của khối tròn xoay Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

1. Công thức

• Công thức tính thể tích của vật thể

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại x = a và x = b (a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tại x (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể đó theo hình phẳng có diện tích là S(x). Giả sử hàm số S(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó, thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên được tính bởi công thức

V= $\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$.

Chú ý: Nếu S(x) = S không đổi với mỗi x ∈ [a; b] thì V = (b – a)S.

• Công thức tính thể tích của khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a; b].

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.

Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ∈ [a; b] được một hình tròn có bán kính f(x).

Thể tích của khối tròn xoay này là: V = $\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h.

Lời giải

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h như hình dưới đây.

Khi đó, một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi S(x) = B (0 ≤ x ≤ h).

Áp dụng công thức tính thể tích của vật thể, ta có:

V = $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{h}{\int }}Bdx={\left.Bx\right|}_0^h=Bh$.

Ví dụ 2. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, hai đường thẳng x = 0, $x=\frac{\pi }{4}$ quay quanh trục hoành?

Lời giải

Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

V = $\pi \underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\sin }^{2}xdx$ = $\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(1-\cos 2x\right)dx$

= ${\left.\frac{\pi }{2}\left(x-\frac{1}{2}\sin 2x\right)\right|}_0^{\frac{\pi }{4}}$ = $\frac{\pi }{2}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}.1\right)$ = $\frac{\pi \left(\pi -2\right)}{8}$.

Ví dụ 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox.

Lời giải

Thể tích của khối tròn xoay cần tính là:

V = $\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}{\left(x^2\right)}^{2}dx=\pi \underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{4}dx$ = ${\left.\pi \frac{x^5}{5}\right|}_1^2=\pi \left(\frac{32}{5}-\frac{1}{5}\right)=\frac{31\pi }{5}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) = $\sqrt{x-2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 4 quay quanh trục Ox.

Bài 2. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:  y = 4x – x², y = 0, x = 0, x = 4.

Bài 3. Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\sqrt{4-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = – 2, x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quanh (S) quanh trục Ox.

Bài 4. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox:

a) y = 3 – x², y = 0;

b) y = sin x, y = 0, x = 0, x = π;

c) y = cot x, y = 0, x = 0, x = $\frac{\pi }{4}$.

Bài 5. Giả sử một bình hoa bằng gốm có mặt trong của bình là một mặt tròn xoay sinh ra khi cho phần đồ thị của hàm số y = 0,055x² + 0,085x + 4 (0 ≤ x ≤ 25) (x, y tính theo cm) quay tròn quanh bệ gốm có trục trùng với trục hoành Ox. Hỏi để hoành thành bình gốm đó ta cần sử dụng bao nhiêu centimét khối đất sét, biết rằng bình gốm đó có độ dày không đổi là 1,5 cm.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức viết phương trình mặt phẳng

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

• Công thức viết phương trình đường thẳng

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng

---