Công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (siêu hay)

Công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

1. Công thức

a) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Cho mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng dưới đây:

Trung bình cộng của mẫu số liệu được tính như sau:

$\overline{x}=\frac{n_1.x_1+n_2.x_2+\mathrm{...}+n_m.x_m}{n}$.

Phương sai của mẫu số liệu được tính như sau:

s² = $\frac{n_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{......}+n_m{\left(x_m-\overline{x}\right)}^2}{n}$.

b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là căn bậc hai số học của phương sai, kí hiệu là s và có công thức như sau:

s = $\sqrt{s^2}$ = $\sqrt{\frac{n_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{......}+n_m{\left(x_m-\overline{x}\right)}^2}{n}}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khối lượng của một số thùng hàng trong một container được thống kê ở bảng sau:

Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên. (Kết quả các phép tính được làm tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Ta có bảng dưới đây:

Cỡ mẫu n = 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

$\overline{x}=\frac{5.6+7.12+9.19+11.9+13.4}{50}$ = 8,72.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là:

s² = $\frac{1}{50}$[6 . (5 – 8,72)² + 12 . (7 – 8,72)² + 19 . (9 – 8,72)² + 9 . (11 – 8,72)² + 4 . (13 – 8,72)²] = $\frac{3001}{625}$ ≈ 4,80.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: s ≈ $\sqrt{\mathrm{4,8}}$ ≈ 2,19.

Ví dụ 2. Giáo viên thống kê lại điểm trung bình cuối năm của các học sinh lớp 12A và 12B ở bảng sau:

a) Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu lớp 12A và 12B.

b) Trong hai lớp 12A và 12B, lớp nào có điểm trung bình đồng đều hơn?

Hướng dẫn giải

a) Ta có bảng thống kê dưới đây:

• Xét mẫu số liệu của lớp 12A, ta có:

Cỡ mẫu là n₁ = 1 + 0 + 11 + 22 + 6 = 40.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_1=\frac{\mathrm{1.5,5}+\mathrm{0.6,5}+\mathrm{11.7,5}+\mathrm{22.8,5}+\mathrm{6.9,5}}{40}$ = 8,3.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s_1^2$ = $\frac{1}{40}$[1 . (5,5 – 8,3)² + 0 . (6,5 – 8,3)² + 11 . (7,5 – 8,3)² + 22 . (8,5 – 8,3)² + 6 . (9,5 – 8,3)²] = 0,61.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là s₁ = $\sqrt{\mathrm{0,61}}$ ≈ 0,78.

• Xét mẫu số liệu lớp 12B, ta có:

Cỡ mẫu n₂ = 0 + 6 + 8 + 14 + 12 = 40.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${\overline{x}}_2=\frac{\mathrm{0.5,5}+\mathrm{6.6,5}+\mathrm{8.7,5}+\mathrm{14.8,5}+\mathrm{12.9,5}}{40}$ = 8,3.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$s_2^2$ = $\frac{1}{40}$[0 . (5,5 – 8,3)² + 6 . (6,5 – 8,3)² + 8 . (7,5 – 8,3)² + 14 . (8,5 – 8,3)² + 12 . (9,5 – 8,3)²] = 1,06.

Độ lệch chuẩn: s₂ = $\sqrt{\mathrm{1,06}}$ ≈ 1,03.

b) Do s₁ < s₂ (0,78 < 1,03) nên điểm trung bình lớp 12A đồng đều hơn điểm trung bình lớp 12B.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mỗi phương án a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).

Bảng dưới đây thống kê giá trị đơn hàng (đơn vị: nghìn đồng) của một quán ăn A khảo sát dựa vào hóa đơn của 50 khách hàng như sau:

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 2.	Đ	S
b) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 6,5216.	Đ	S
c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là 2,55.	Đ	S
d) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là 125,28.	Đ	S

Bài 2. Bảng sau thống kê thời gian tập thể dục mỗi ngày trong thời gian gần đây của bạn A (đơn vị: phút).

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Bài 3. Điều tra về chiều cao của học sinh khối 11, ta có kết quả sau:

Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Bài 4. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Bài 5. Bảng dưới đây thống kê cự li ném tạ của hai vận động viên A và B.

a) Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Vận động viên nào có cự li ném tạ đồng đều hơn?

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Các công thức về tính chất của nguyên hàm

• Công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

• Các công thức về tính chất của tích phân

• Công thức tích phân của một số hàm số sơ cấp

• Công thức tính diện tích hình phẳng

---