Công thức tích phân của một số hàm số sơ cấp (siêu hay)

Công thức tích phân của một số hàm số sơ cấp Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

1. Công thức

+ Tích phân của hàm số lũy thừa:

Với α ≠ – 1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$.

+ Tích phân của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$:

Với hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx={\left.\ln \left|x\right|\right|}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|$.

✔ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_a^b$ = -cosb - (-cosa) = cosa - cosb.

✔ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos xdx={\left.\sin x\right|}_a^b$ = sinb - sina.

✔ Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_a^b$ = -cotb - (-cota) = cota - cotb.

✔ Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx={\left.\tan x\right|}_a^b$ = tanb - tana.

+ Tích phân của hàm số mũ:

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^{x}dx={\left.\frac{a^x}{\ln a}\right|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}$.

Khi đó, $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{5}{\int }}\frac{dx}{x}$;

b) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-3\right)dx$;

c) $\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(4-e^{-\frac{x}{2}}\right)dx$;

d) $\underset{0}{\overset{3\pi }{\int }}\sin xdx$.

Lời giải

a) $\underset{2}{\overset{5}{\int }}\frac{dx}{x}={\left.\ln \left|x\right|\right|}_2^5=\ln 5-\ln 2=\ln \frac{5}{2}$.

b) $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-3\right)dx$ = ${\left.\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-3x\right)\right|}_0^2$

= $\frac{8}{3}+2-6=-\frac{4}{3}$

c) $\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(4-e^{-\frac{x}{2}}\right)dx$ = ${\left.\left(4x+2e^{-\frac{x}{2}}\right)\right|}_{-2}^0$ = (0 + 2) – (– 8 + 2e) = 10 – 2e.

d) $\underset{0}{\overset{3\pi }{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_0^{3\pi }$ = $\cos 0-\cos 3\pi$ = 2,

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:

a) $\underset{\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}+\frac{\sqrt{3}}{{\sin }^{2}x}\right)dx$;

b) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(2^x-\frac{3}{x^2}\right)dx$.

Lời giải

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Tính:

a) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(x^3-4x^5+2x\right)dx$;

b) $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{2}{x^3}dx$;

c) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(\frac{3}{x\sqrt{x}}+5\right)dx$;

d) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{6}{5x}dx$.

Bài 2. Tính:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(3\sin x-4\cos x\right)dx$;

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}{\tan }^{2}xdx$;

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(2+\sin x\right)dx$;

d) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\cot }^{2}xdx$.

Bài 3. Tính:

a) $\underset{-3}{\overset{2}{\int }}{e}^{2x}dx$;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2\cdot 5^x+6e^{-x}\right)dx$.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tính diện tích hình phẳng

• Công thức tính thể tích của vật thể, của khối tròn xoay

• Công thức viết phương trình mặt phẳng

• Điều kiện song song, vuông góc của hai mặt phẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

---