Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị hay, nhanh nhất (siêu hay)

Với loạt bài Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị Toán lớp 12 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 12.

Bài viết Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị gồm 4 phần: Định nghĩa, Công thức, Kiến thức mở rộng và Bài tập vận dụng áp dụng công thức trong bài có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Phương pháp biện luận số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị Toán 12.

1. Lí thuyết

Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị (C₁) và y = g(x) có đồ thị (C₂). Khi đó số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) sẽ bằng số giao điểm của (C₁) và (C₂)

2. Áp dụng vào biện luận số nghiệm phương trình

Cho phương trình f(x) = m. Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = f(x). Trong đó đường thẳng y = m tịnh tiến trên trục Oy.

3. Cách biện luận số nghiệm phương trình f(x) = m

a. Cách 1: Khi bài toán cho sẵn đồ thị hàm số f(x) = m

- Ta dựa vào sự tịnh tiến của đường thẳng y = m xem nó cắt đồ thị y = f(x) tại mấy điểm, từ đó biện luận phương trình có 1 nghiệm; 2 nghiệm; ... hoặc vô nghiệm khi nào tùy thuộc vào khoảng giá trị của m.

 - Hình bên là đồ thị hàm số y = x³ + 3x² - 2

Ta biện luận số nghiệm của x³ + 3x² - 2 = m như sau:

+ Phương trình có 1 nghiệm

+ Phương trình có 2 nghiệm

+ Phương trình có 3 nghiệm ⇔ -2 < m < 2

b. Cách 2: Khi bài toán không cho đồ thị

- Với cách này thì ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Sau đó ta biện luận tương tự như cách 1

- Cách này sẽ thuận tiện với những bài toán chưa có sẵn đồ thị

                      

4. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho đồ thị hàm số y = -x³ + 3x + 1 như hình bên.

a. Từ đồ thị hãy chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến

b. Biện luận số nghiệm của phương trình x³ - 3x + m = 0

Lời giải:

a. Dựa vào đồ thị ta thấy

- Hàm số nghịch biến trên 2 khoảng (-∞, -1) và (1,+∞)

- Hàm số đồng biến trên trên khoảng (-1,1)

b. x³ - 3x + m = 0 ⇔ -x³ + 3x + 1 = m + 1 (1)

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m + 1

- Đường thẳng y = m + 1 là đường thẳng song song với trục Ox. Tịnh tiến đường thẳng ta được:

+ phương trình (1) có 1 nghiệm

+ phương trình (1) có 2 nghiệm

+ phương trình (1) có 3 nghiệm ⇔ -1 < m + 1 < 3 ⇔ -2 < m < 2

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình x³ + 3x² + 2 - m = 0 có 3 nghiệm thực phân biệt.

Lời giải:

x³ + 3x² + 2 - m = 0 ⇔ x³ + 3x² + 2 = m (1)

- Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của y = x³ + 3x² + 2 và y = m

- Xét hàm số y = x³ + 3x² + 2 ta có: y^' = 3x² + 6x = 0 ⇔

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 2 < m < 6

5. Luyện tập

Bài 1. 

Cho hàm số y = -x⁴ + 4x² + 2 có đồ thị như hình bên. 

Biện luận số nghiệm của phương trình x⁴ - 4x² + m - 3 theo m

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình dưới.

Biện luận số nghiệm của phương trình 2f(x) - m = 0

Bài 3. 

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [-2,2] và có đồ thị là hình cong bên. 

Số nghiệm của phương trình  trên đoạn [-2,2] bằng?

Bài 4. Tìm m để phương trình  có 4 nghiệm phân biệt.

Bài 5. Tìm m để bất phương trình x³ - 3x² + 1 - m nghiệm đúng với mọi x ∈ [-1,1].

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Phương pháp tìm tiếp tuyến với đồ thị hàm số

• Qui tắc xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

• Phương pháp tính cực trị của hàm số

• Phương pháp tính GTNN - GTLN của hàm số

• Phương pháp tìm tiệm cận của hàm số

---