Công thức tính xác suất có điều kiện (siêu hay)

Công thức tính xác suất có điều kiện Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

1. Công thức

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A | B).

Nếu P(B) > 0 thì P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$.

Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, ta suy ra: Nếu P(B) > 0 thì

P(A ∩ B) = P(B). P(A | B).

Ngoài ra, ta còn có công thức: Cho hai biến cố A và B với P(B) > 0 thì

P(A | B) = $\frac{n(A\cap B)}{n\left(B\right)}$.

Chú ý: Người ta chứng minh được tính chất sau chỉ ra mối liên hệ giữa xác suất có điều kiện và biến cố độc lập:

Cho A và B là hai biến cố với 0 < P(A) < 1, 0 < P(B) < 1. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi:

P(A) = P(A | B) = P(A | $\overline{B}$) và P(B) = P(B | A) = P(B | $\overline{A}$).

Nhận xét: Tính chất trên giải thích vì sao hai biến cố là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai biến cố A, B có P(A) = 0,3; P(B) = 0,7; P(A ∩ B) = 0,15. Tính xác suất P(A | B); P(B | A).

Hướng dẫn giải

Ta có: P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,7}}$ = $\frac{3}{14}$;

           P(B | A) = $\frac{P(B\cap A)}{P\left(A\right)}$ = $\frac{\mathrm{0,15}}{\mathrm{0,3}}$ = $\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2. Một câu lạc bộ cờ của phường A gồm 45 thành viên, mỗi thành viên biết chơi ít nhất một trong hai môn cờ vua hoặc cờ tướng. Biết rằng có 35 thành viên biết chơi cờ vua và 20 thành viên biết chơi cờ tướng. Chọn ngẫu nhiên một thành viên của câu lạc bộ. Tính xác suất thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng.

Hướng dẫn giải

Xét hai biến cố sau:

A: “Thành viên được chọn biết chơi cờ vua”;

B: “Thành viên được chọn biết chơi cờ tướng”.

Khi đó, xác suất để thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng người đó biết chơi cờ tướng chính là xác suất của A với điều kiện B.

Số thành viên trong câu lạc bộ biết chơi cả hai môn cờ là: 35 + 20 – 45 = 10 (thành viên).

Do có 10 thành viên biết chơi cả cờ tướng và cờ vua nên P(A ∩ B) = $\frac{10}{45}=\frac{2}{9}$.

Do có 20 thành viên biết chơi cờ tướng nên P(B) = $\frac{20}{45}=\frac{4}{9}$. Vì thế, ta có:

P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)}$ = $\frac{2}{9}:\frac{4}{9}$ = $\frac{1}{2}$ = 0,5.

Vậy xác suất để thành viên được chọn biết chơi cờ vua, biết rằng thành viên đó biết chơi cờ tướng là 0,5.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mỗi ý a), b), c), d) dưới đây, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hai xúc xắc cân đối và đồng chất. Gieo lần lượt từng con xúc xắc trong hai con xúc xắc đó.

Xét biến cố:

A: “Tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 6”;

B: “Xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm”.

a) Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 6, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt hai chấm là xác suất có điều kiện P(A | B).	Đ	S
b) P(A ∩ B) = $\frac{1}{36}$.	Đ	S
c) P(B) = $\frac{1}{3}$.	Đ	S
d) Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 6, biết rằng xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 2 chấm là $\frac{1}{12}$.	Đ	S

Bài 2. Một hộp có 5 bút bi xanh, 4 bút bi đỏ (các bút bi có kích thước và khối lượng như nhau). Lấy ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy một chiếc bút trong hộp, đánh dấu chiếc bút lấy ra ở lần thứ nhất và bỏ lại vào hộp. Xét biến cố:

A: “Chiếc bút màu xanh được lấy ra lần thứ nhất”;

B: “Chiết bút màu đỏ được lấy ra lần thứ hai”.

a) Tính xác suất P(A), P(A | B), P(B), P(B | A).

b) Chứng minh A, B là hai biến cố độc lập.

Bài 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) dưới đây, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Một hộp có 12 viên bi trắng và 10 viên bi đỏ (các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau). Có 10 viên bi trong hộp được đánh số, trong đó có 4 viên bi trắng và 6 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp.

Xét các biến cố:

A: “Lấy được viên bi có màu trắng”;

B: “Viên bi được lấy ra có đánh số”.

a) Xác suất để lấy ra được viên bi màu trắng, biết rằng viên bi đó được đánh số, là xác suất có điều kiện P(A | B).	Đ	S
b) P(A) = $\frac{2}{3}$, P(B) = $\frac{10}{22}$.	Đ	S
c) P(A | B) = $\frac{2}{5}$.	Đ	S
d) Gọi $\overline{B}$: “Viên bi lấy ra không được đánh số”, lúc này P($\overline{B}$) = $\frac{12}{22}$.	Đ	S

Bài 4. Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu các dự án lần lượt là 0,4 và 0,5. Khả năng thắng thầu cả hai dự án là 0,3. Gọi A, B lần lượt là biến cố thắng thầu của dự án 1 và dự án 2.

a) Biết công ty thắng thầu dự án 1, tính xác suất công ty thắng thầu dự án 2.

b) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, tính xác suất công ty thắng thầu dự án 2.

Bài 5. Một sinh viên làm hai bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8, nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai còn 0,2.

a) Tính xác suất để học sinh đó làm đúng ít nhất một bài.

b) Tính xác suất để học sinh đó làm đúng bài 1 biết rằng học sinh làm đúng bài 2.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức nhân xác suất

• Công thức xác suất toàn phần

• Công thức Bayes

---