Công thức Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (hay 7 hằng đẳng thức đáng nhớ) trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

a) Bình phương của một tổng:

(A + B)² = A² + 2AB + B².

b) Bình phương của một hiệu:

(A – B)² = A² – 2AB + B².

c) Hiệu hai bình phương:

A² – B² = (A – B) . (A + B).

d) Lập phương của một tổng:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

e) Lập phương của một hiệu:

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³.

f) Tổng hai lập phương:

A³ + B³ = (A + B) . (A² – AB + B²).

g) Hiệu hai lập phương:

A³ – B³ = (A – B) . (A² + AB + B²).

Chú ý: Các hằng đẳng thức mở rộng:

(A + B + C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2BC + 2AC.

(A – B + C)² = A² + B² + C² – 2AB – 2BC + 2AC.

(A – B – C)² = A² + B² + C² – 2AB + 2BC – 2AC.

(A + B – C) ² = A² + B² + C² + 2 . (AB – AC – BC).

(A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3 . (A + B) . (A + C) . (B + C).

A⁴ + B⁴  = (A + B) . (A³ – A²B + AB² – B³).

A⁴ – B⁴  =  (A – B) . (A³ + A²B + AB²  + B³).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) (3x – 1)².

b) (x + 6)².

c) (2 – x)³.

d) (2x + 3y)³.

e) (x + 2y – 1)².

f) (2 + x + y)³.

Hướng dẫn giải:

a) (3x – 1)² = (3x)² – 2 . 3x . 1 + 1² = 9x² – 6x + 1.

b) (x + 6)² = x² + 2 . x . 6 + 6² = x² + 12x + 36.

c) (2 – x)³ = 2³ – 3 . 2² . x + 3 . 2 . x² – x³ = 8 – 12x + 6x² – x³.

d) (2x + 3y)³ = (2x)³ + 3 . (2x)² . 3y + 3 . 2x . (3y)² + (3y)³ = 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³.

e) (x + 2y – 1)² = x² + (2y)² + 1² + 2 . (2xy – x – 2y) =  x² + 4y² + 1 + 4xy – 2x – 4y.

f) (2 + x + y)³ = 2³ + x³ + y³ + 3 . (2 + x) . (x + y) . (2 + y)

  = 8 + x³ + y³ + (6 + 3x)(x + y) (2 + y).

  = 8 + x³ + y³ + (6x + 6y + 3x² + 3xy)(2 + y)

  = 8 + x³ + y³ + (12x + 6xy + 12y + 6y² + 6x² + 3x²y + 6xy + 3xy²)

  = 8 + x³ + y³ + 12x + 12xy + 12y + 6y² + 6x² + 3x²y + 3xy².

Ví dụ 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 4 – 4x + x².

b) 9x² + 12x + 4.  

c) 8 – 27x³.

d) x³ + 64y³.

e) y⁴ – 16.

Hướng dẫn giải:

a) 4 – 4x + x² = 2² – 2 . 2 . x + x² = (2 – x)².

b) 9x² + 12x + 4 = (3x)² + 2 . 3x . 2 + 2² = (3x + 2)².

c) 8 – 27x³ = 2³ – (3x)³ = (2 – 3x) . [2² + 2 . 3x + (3x)²] = (2 – 3x) . (4 + 6x + 9x²).

d) x³ + 64y³ = x³ + (4y)³ = (x + 4y) . [x² – x . 4y + (4y)²] = (x + 4y) . (x² – 4xy + 16y²).

e) y⁴ – 16 = y⁴ – 2⁴ = (y – 2) . (y³ + y² . 2 + y . 2² + 2³) = (y – 2) . (y³ + 2y² + 4y + 8).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x – 10)² + (x – 3) . (x + 3).

b) (x + 2)² + 2 . (x + 2) . (x – 2) + (x – 2)².

c) x³ + 9x² + 27x + 27 + (x – 1)³.

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức A = 81 – 54x + 9x² tại x = 3.

Bài 3. Tính nhanh: 201² – 2 . 201 . 1 + 1².

Bài 4. Viết các đa thức sau thành tích:

a) 8 – y³.

b) 4x² – 64.

c) x³ + 27y³.

Bài 5. Viết biểu thức tính diện tích hình vuông có cạnh 4x – 5 dưới dạng đa thức.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, chia đa thức cho đơn thức

• Công thức tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên trong một số trò chơi đơn giản

• Công thức tính xác suất thực nghiệm của một biến cố trong một số trò chơi đơn giản

---