Định lí Viète cho phương trình bậc hai một ẩn (siêu hay)

Với loạt bài Định lí Viète cho phương trình bậc hai một ẩn Toán lớp 9 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 9.

1. Công thức 

Định lí Viète của phương trình bậc hai:

Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}.\end{array}\right.$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Không giải phương trình, hãy tính biệt thức ∆ (hoặc ∆’) để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của phương tình bậc hai x² – 7x + 6 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Xét phương trình: x² – 7x + 6 = 0 có các hệ số a = 1, b = –7, c = 6.

Ta có: ∆ = b² – 4ac = (–7)² – 4.1.6 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Theo định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = $-\frac{b}{a}=-\frac{-7}{1}$ = 7 và x₁, x₂ = $\frac{c}{a}=\frac{6}{1}$ = 6.

Ví dụ 2. Cho phương trình – x² + 6x + 3 = 0.

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂;

b) Không giải phương trình, hãy tính $x_1^2+x_2^2$.

Hướng dẫn giải:

a) Xét phương trình: – x² + 6x + 3 = 0.

Ta có: ∆' = 3² – (–1).3 = 12 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân x₁, x₂;

b) Vì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète, ta có:

x₁ + x₂ = $-\frac{6}{-1}$ = 6 và x₁, x₂ = $\frac{3}{-1}$ = -3.

Ta có:

$x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1{x}_2+x_2^2-2x_1{x}_2$

= ${\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2$ = 6² - 2.(-3) = 42.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Không giải phương trình, hãy để kiểm tra điều kiện có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm của các phương tình bậc hai sau:

a) 3x² + 7x + 2 = 0;

b) $x^2-\left(2-\sqrt{3}\right)x+5\sqrt{3}=0$ ;

c) – 5x² – 4x + 1 = 0;

d) 9x² – 6x + 1 = 0;

e) $x^2-\sqrt{3}x-2-\sqrt{6}=0$;

g) $\left(\sqrt{5}+1\right)x^2-5x+\sqrt{5}-1=0$.

Bài 2. Cho phương trình –x² – 5x + 3 = 0 với x₁, x₂ là nghiệm của phương trình. Tính x₁ + x₂ và x₁x₂ sau đó chứng minh rằng cả hai nghiệm x₁, x₂ đều khác 0.

Bài 3. Nếu có phương trình sau có hai nghiệm x₁, x₂ thì hãy tính giá trị của các đại lượng sau:  (x₁ – x₂)², x_1­ – x₂,  mà không giải phương trình:

a) x² – 4x – 12 = 0;

b) x²  +5x + 6 = 0;

c) x² + 3x – 2 = 0;

d) x² + 2x – 3 = 0;

e) –3x² – 8x + 11 = 0;

f) –5x² + 2x + 8 = 0.

Bài 4. Nếu phương trình – 3x² + x + 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thì hãy tính giá trị của các đại lượng sau mà không giải phương trình:

a) $5x_1{x}_2^2+5x_2{x}_1^2$;

b) $2x_1{x}_2^3+2x_2{x}_1^3$;

c) $\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}$;

d) $\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}$;

e) $\frac{x_2}{x_1+3}+\frac{x_1}{x_2+3}$;

f) $\frac{x_1+1}{x_2}+\frac{x_2+1}{x_1}$;

g) $\frac{x_1-1}{x_2}+\frac{x_2-1}{x_1}$;

h) $\frac{x_1^2+2}{x_2}+\frac{x_2^2+2}{x_1}$.

Bài 5. Cho phương trình x² – 2(m – 2)x + 2m – 5 = 0

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂;

b) Với m tìm được ở trên hãy tìm biểu thức liên hệ giữa x₁, x₂ không phụ thuộc vào m.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Công thức đưa thừa số vào trong dấu căn

• Công thức về căn bậc hai và căn thức bậc ba

• Công thức trục căn thức ở mẫu

• Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn

• Công thức nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

• Công thức viết phương trình bậc hai một ẩn khi biết tổng và tích hai nghiệm của chúng

---