Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón (siêu hay)

Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.

1. Công thức

a) Diện tích xung quanh của hình nón

Diện tích xung quanh của hình nón bằng nửa tích của chu vi đáy với độ dài đường sinh:

S_xq = $\frac{1}{2}\cdot C\cdot l=\pi rl$,

trong đó, S_xq là diện tích xung quanh;

               r là bán kính đáy;

               C là chu vi đáy;

               l là độ dài đường sinh của hình nón.

Chú ý: Tổng của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy của hình nón gọi là diện tích toàn phần của hình nón đó. Diện tích toàn phần của hình nón được tính theo công thức:

S_tp = S_xq + S_đáy = πrl + πr² = πr(l + r),

trong đó S_tp là diện tích toàn phần;

              S_xq là diện tích xung quanh;

              S_đáy là diện tích đáy;

              r là bán kính đáy;

              l là độ dài đường sinh của hình nón.

b) Thể tích của hình nón

Thể tích của hình nón bằng một phần ba tích của diện tích đáy với chiều cao:

V = $\frac{1}{3}\cdot S\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$,

trong đó V là thể tích;

               S là diện tích đáy;

               r là bán kính đáy;

               h là chiều cao của hình nón.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho một hình nón có độ dài đường sinh bằng 13 cm và bán kính đáy bằng 5 cm. Tính:

a) Chiều cao của hình nón.

b) Diện tích xung quanh của hình nón.

c) Diện tích toàn phần của hình nón.

d) Thể tích của hình nón.

Hướng dẫn giải

a) Ta có l = AC = 13 (cm) và r = OC = 5 cm.

Tam giác AOC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AO² + OC²

Suy ra AO² = AC² – OC² = 13² – 5² = 144.

Do đó AO = 12 (cm).

Vậy chiều cao của hình nón bằng 12 cm.

b) Diện tích xung quanh của hình nón là:

S_xq = πrl = π.5.13 = 65π (cm²).

c) Diện tích toàn phần của hình nón là:

S_tp = πr(l + r) = π.5.(13 + 5) = 90π (cm²).

d) Thể tích của hình nón là:

V = $\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 5^2\cdot 12=100\pi$ (cm³).

Ví dụ 2. Một dụng cụ hình nón có chiều cao 100 dm và thể tích 30 000π dm³.

a) Tính bán kính của hình nón đó.

b) Tính độ dài đường sinh của hình nón đó.

c) Tính diện tích xung quanh của hình nón đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

d) Tính diện tích toàn phần của hình nón đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

a) Ta có công thức tính thể tích của hình nón là:

V = $\frac{1}{3}\cdot S\cdot h=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Suy ra $\frac{1}{3}\pi r^2$.100 = 30 000π nên r² = 900

Do đó r = 30 (dm).

Vậy bán kính của hình nón đó bằng 30 dm.

b) Tam giác AOC vuông tại O, theo định lí Pythagore, ta có:

AC² = AO² + OC²

Suy ra AC² = 100² + 30² = 10 900

Do đó AC = $\sqrt{10900}=10\sqrt{109}$ (dm).

Vậy độ dài đường sinh của hình nón đó bằng $10\sqrt{109}$ dm.

c) Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

S_xq = $\pi rl=\pi \cdot 30\cdot 10\sqrt{109}=300\pi \sqrt{109}\approx 9840$ (dm²).

d) Diện tích toàn phần của hình nón đó là:

S_tp = $\pi r\left(l+r\right)=\pi \cdot 30\cdot \left(10\sqrt{109}+30\right)=300\pi \left(\sqrt{109}+3\right)\approx 12667$ (dm²).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính thể tích của một hình nón, biết rằng:

a) Bán kính đáy 4 cm, chiều cao 9 cm.

b) Diện tích đáy 144π cm² và chiều cao 10 cm.

c) Đường sinh dài 15 cm và diện tích xung quanh là 135π cm².

d) Đường kính mặt đáy 20 cm và diện tích toàn phần 250π cm².

e) Chu vi đáy 98π cm và đường sinh 18 cm.

Bài 2. Một hình quạt tròn có bán kính bằng 20 cm và góc ở tâm là 144°. Người ta uốn hình quạt này thành một hình nón.

a) Tính bán kính đáy của hình nón tạo thành.

b) Tính chiều cao của hình nón tạo thành.

c) Tính diện tích xung quanh của hình nón tạo thành.

d) Tính diện tích toàn phần của hình nón tạo thành.

e) Tính thể tích của hình nón tạo thành.

Bài 3. Từ một khúc gỗ hình trụ cao 15 cm, người ta tiện thành một hình nón có thể tích lớn nhất. Biết phần gỗ bỏ đi có thể tích là 640π cm³.

a) Tính thể tích khúc gỗ hình trụ. Từ đó suy ra thể tích của hình nón.

b) Tính bán kính đáy của khúc gỗ hình trụ.

c) Tính độ dài đường sinh của hình nón.

d) Tính diện tích xung quanh hình nón.

Bài 4. Một vật thể gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho biết ở hình vẽ dưới đây.

a) Tính thể tích phần hình nón.

b) Tính thể tích của dụng cụ ấy.

c) Tính diện tích xung quanh của phần hình nón.

d) Tính diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{B}=60°$ và BC = 2a. Quay tam giác ABC một vòng quanh cạnh huyền BC.

a) Tính độ dài các cạnh AB, AC.

b) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

c) Tính diện tích xung quanh của hình tạo thành.

d) Tính thể tích của hình tạo thành.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật và hình vuông

• Tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp

• Công thức tìm góc quay của phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

• Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

• Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu

---