Công thức Toán 9 Căn bậc hai và Căn bậc ba (quan trọng)

Trọn bộ công thức Căn bậc hai & Căn bậc ba Toán 9 quan trọng gồm đầy đủ lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 9 vận dụng để biết cách làm bài tập Toán 9.

• Công thức về căn bậc hai và căn thức bậc hai

• Công thức liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép nhân

• Công thức liên hệ giữa phép khai căn bậc hai và phép chia

• Công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn

• Công thức đưa thừa số vào trong dấu căn

• Công thức về căn bậc hai và căn thức bậc ba

• Công thức trục căn thức ở mẫu

• Công thức căn bậc hai

• Các hằng đẳng thức căn bậc hai

• Các công thức biến đổi căn bậc hai

• Công thức căn bậc 3

• Công thức giải phương trình chứa căn

• Hằng đẳng thức căn bậc ba

---

---

---

Công thức căn bậc hai

I. Lý thuyết

+ Căn bậc hai của một số thực a không âm là x sao cho x² = a 

+ Mỗi số dương a có hai căn bậc hai là √a và -√a ; 

+ Số 0 có một căn bậc hai là 0 

+ Số âm không có căn bậc hai.

Chú ý: Căn bậc hai số học của một số a không âm là √a 

 

II. Các công thức:

1. Điều kiện để căn thức, biểu thức có nghĩa

+  có nghĩa khi A ( x ) ≥ 0

+  có nghĩa khi B ( x ) ≠ 0

+ có nghĩa khi  

+  có nghĩa khi B ( x ) > 0

+ có nghĩa khi  

2. So sánh căn bậc hai

 a > b ≥ 0 => √a > √b

                             

III. Các ví dụ

Ví dụ 1:Tìm căn bậc hai của các số sau đây:

a) 25

b)  

Lời giải:

a) Căn bậc hai của 25 là 5 và -5 vì 5² = 25 và (-5)² = 25

b) Căn bậc hai của

Ví dụ 2: Tìm điều kiện của x để căn sau có nghĩa:

 

Lời giải:

a)  có nghĩa

 ⇔ 3x + 1 ≥ 0 

⇔ 3x ≥ -1

⇔ x ≥ -1 : 3

⇔ x ≥

Vậy có nghĩa khi x ≥

b) Ta có để  có nghĩa

⇔  

Vì –5 < 0 nên để  

thì 2x - 1 < 0 (do mẫu số phải khác 0 nên 2x - 1 ≠ 0 )

2x - 1 < 0

⇔ 2x < 1 

⇔ x <

Vậy x <  thì căn có nghĩa

c) Để  có nghĩa thì

 . Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

 

Vậy để  có nghĩa thì 1 ≤ x < 2

Ví dụ 3: So sánh các căn bậc hai sau: 

a) 5 và 2√5                                                                     

b) 4 và √17 + 1 

Lời giải:

a) Ta có: 5² = 25 và (2√5)² = 2².5 = 4.5 = 20

Vì 25 > 20 nên √25 > √20 

=> 5 > 2√5

b) Ta có: 4 = 3 + 1 vậy để so sánh 4 và √17 + 1  ta đi so sánh 3 và √17

 3² = 9. Vì 17 > 9 nên √17 > √9 => √17 > 3 => √17 + 1 > 3 + 1 => √17 + 1 > 4    

IV. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học của các số sau đây

4; 1,69;  ; 64    

Bài 2: Tìm điều kiện để căn có nghĩa:

Bài 3: So sánh các số sau: 

a) √51 và 7

b) 3√23 và 2√31 

c) √11 + 1 và 4

Các hằng đẳng thức căn bậc hai

I. Lí thuyết

Hằng đẳng thức căn hai là những hằng đẳng thức có chứa căn bậc hai trong biểu thức.

II. Công thức

* √A² =

* ( √A + √B)² = A + 2√AB + B với A ≥ 0; B ≥ 0  

* ( √A + B)² = A + 2√AB + B² với A ≥ 0 

* ( √A - √B)² = A - 2√AB + B với A ≥ 0; B ≥ 0 

* ( √A - B)² = A - 2√AB + B² với A ≥ 0 

* A - B² = ( √A - B)( √A - B) với A ≥ 0

* B² - A = ( B - √A )( B + √A) với A ≥ 0  

* ( √A + √B)³ = (√A)³ + 3.(√A)² √B + 3.√A (√B)³ + (√B)³

= A√A + 3A√B + 3√AB + B√B với  A ≥ 0; B ≥ 0  

* ( √A - √B)³ = (√A)³ - 3.(√A)² √B + 3.√A (√B)³ - (√B)³ 

= A√A - 3A√B + 3√AB - B√B với  A ≥ 0; B ≥ 0

* √A³ + √B³ = A√A + B√B = (√A)³ + (√B)³ 

= ( √A - √B)( A - √AB + B ) với  A ≥ 0; B ≥ 0

* √A³ - √B³ = A√A - B√B = (√A)³ - (√B)³  

= ( √A - √B)( A + √AB + B ) với  A ≥ 0; B ≥ 0

                               

III. Các ví dụ

Dùng hằng đẳng thức rút gọn các biểu thức sau:

                                                                                       Lời giải:

c)  - 10a

=  - 10a

=  - 10a

Vì a ≤ 0 =>  -10a = 4.(-5a) - 10a  

= -20a - 10a

= -30a 

 

IV. Bài tập tự luyện

Rút gọn các biểu thức sau:

..........................

..........................

..........................

Trên đây là tóm lược một số nội dung có trong tổng hợp công thức Toán lớp 9 Chương 1: Căn bậc hai - Căn bậc ba, mời quí bạn đọc vào từng bài để xem đầy đủ, chi tiết!

---