Công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn (siêu hay)

Công thức tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.

1. Công thức

Cho tam giác ABC vuông tại A, ta có:

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sin α hay

sin C = $\frac{AB}{BC}$.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cos α hay

cos C = $\frac{AC}{BC}$.

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tan α hay

tan C = $\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{AB}{AC}$.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cot α hay

cot C = $\frac{1}{\tan C}=\frac{AC}{AB}$.

Với α < 90° thì 0 < sin α < 1; 0 < cos α < 1; tan α > 0; cot α > 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại C có BC = 1,2 cm và AC = 0,9 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC, ta có:

AB² = AC² + BC²

Suy ra AB = $\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{{\mathrm{0,9}}^2+{\mathrm{1,2}}^2}$ = 15 (cm)

Ta có: sin B = $\frac{AC}{AB}=\frac{\mathrm{0,9}}{\mathrm{1,5}}$ = 0,6;

           cos B = $\frac{BC}{AB}=\frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,5}}$ = 0,8;

           tan B = $\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,8}}$ = 0,75;

           cot B = $\frac{\cos B}{\sin B}=\frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,6}}=\frac{4}{3}$.

Vậy sin B = 0,6; cos B = 0,8; tan B = 0,75; cot B = $\frac{4}{3}$.

Ví dụ 2. Biết $\sin \alpha =\frac{5}{13}$. Tính cos α, tan α, cot α.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{B}=\alpha$.

Ta có $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{13}$, suy ra $\frac{AC}{5}=\frac{BC}{13}=k$, khi đó AC = 5k; BC = 13k.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác ABC, ta được:

BC² = AB² + AC²

Suy ra AB = $\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}$ = $\sqrt{{\left(13k\right)}^2-{\left(5k\right)}^2}$ = 12k

Từ đó ta có: cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$;

                     tan B = $\frac{AC}{AB}=\frac{5k}{12k}=\frac{5}{12}$;

                     cot B = $\frac{AB}{AC}=\frac{12k}{5k}=\frac{12}{5}$.

Vậy $\cos \alpha =\frac{12}{13};\tan \alpha =\frac{5}{12};\cot B=\frac{12}{5}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tính sin α, cos α, tan α, cot α.

Bài 2. Tính cos α, tan α, cot α biết $\sin \alpha =\frac{1}{5}$.

Bài 3. Cho góc α < 90°. Tính cot α biết cos α – sin α = $\frac{1}{5}$.

Bài 4. Biết tan α + cot α = 3. Tính sin αcos α

Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết $\frac{HD}{HA}=\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng tan B . tan C = 3.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Công thức tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

• Công thức liên hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

• Công thức liên hệ giữa hai cạnh góc vuông

• Công thức tính góc ở tâm và số đo của một cung

• Công thức tính số đo góc nội tiếp của đường tròn

---