Công thức nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn (siêu hay)

Công thức nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.

1. Công thức 

a) Xét phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

⦁ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = 1, còn nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}$;

⦁ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x₁ = –1, còn nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}$.

b) Dựa vào định lí Viet (xét trong trường hợp phương trình có nghiệm):

⦁ Nếu phương trình có dạng x² + (u + v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x₁ = –u, x₂ = –v.

⦁ Nếu phương trình có dạng x² – (u + v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x₁ = u, x₂ = v.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Bằng cách nhẩm nghiệm, hãy giải các phương trình sau:

a) 15x² – 17x + 2 = 0;

b) 23x² – 9x – 32 = 0.

Hướng dẫn giải

a) 15x² – 17x + 2 = 0

Phương trình có các hệ số a = 15, b = –17, c = 2.

Ta có: a + b + c = 15 + (–17) + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm:

$x_1=1;x_2=\frac{2}{15}$.

b) 23x² – 9x – 32 = 0

Phương trình có các hệ số a = 23, b = –9, c = –32.

Ta có: a – b + c = 23 – (–9) – 32 = 0 nên phương trình có hai nghiệm:

$x_1=-1;x_2=-\frac{-32}{23}=\frac{32}{23}$.

Ví dụ 2. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x² – 5x + 6 = 0;

b) x² + 7x + 10 = 0;

Hướng dẫn giải:

a) x² – 5x + 6 = 0

Xét ∆ = (–5)² – 4.1.6 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

(Nhẩm: Tổng hai nghiệm bằng 5 và tích hai nghiệm bằng 6.)

Ta có hai số đó là 2 và 3 vì 2 + 3 = 5 và 2.3 = 6.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2; x = 3.

b) x² + 7x + 10 = 0

Xét ∆ = 7² – 4.1.10 = 9 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt.

(Nhẩm: Tổng hai nghiệm bằng –7 và tích hai nghiệm bằng 10.)

Ta có hai số đó là –2 và –5 vì (–2) + (–5) = –7 và (–2).(–5) = 10.

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = –2; x = –5.

Ví dụ 3. Cho phương trình: x² – 6x + m² – 4m = 0 (với m là tham số).

a) Tìm m để phương trình trên có một nghiệm bằng 1.

b) Với giá trị m vừa tìm được ở câu a, hãy tìm nghiệm còn lại.

Hướng dẫn giải:

a) Để phương trình x² – 6x + m² – 4m = 0 (1) có một nghiệm bằng 1 thì:

1 + (–6) + m² – 4m = 0

m² – 4m – 5 = 0. (2)

Phương trình bậc hai ẩn m ở trên có các hệ số a_m = 1, b_m = –4, c_m = –5.

Ta có a – b + c = 1 – (–4) + (–5) = 0.

Do đó phương trình (2) có hai nghiệm m₁ = –1; m₂ = 5.

Vậy với m ∈ {–1; 5} thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 1.

b) ⦁ Với m = –1, ta có phương trình:

x² – 6x + (–1)² – 4.(–1) = 0 hay x² – 6x + 5 = 0.

⦁ Với m = 5, ta có phương trình:

x² – 6x + 5² – 4.5 = 0 hay x² – 6x + 5 = 0.

Khi đó, với cả hai giá trị của m vừa tìm được, ta đều có phương trình:

x² – 6x + 5 = 0.

Phương trình trên có các hệ số a = 1, b = –6, c = 5.

Ta có a + b + c = 1 + (–6) + 5 = 0.

Do đó phương trình trên có nghiệm x₁ = 1; x₂ = 5.

Vậy với m ∈ {–1; 5} thì nghiệm còn lại của phương trình là x = 5.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Xét tổng a + b + c hoặc a – b + c rồi nhẩm nghiệm các phương trình:

a)  – 2x² + 7x + 9 = 0;

b) 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0;

c) $\sqrt{5}{x}^2-\left(2-\sqrt{5}\right)x-2=0$.

d) $\left(2-\sqrt{3}\right)x^2+2\sqrt{3}x-\left(2+\sqrt{3}\right)=0$ .

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng cách nhẩm nghiệm của đa thức đó:

a) 4x² – 5x + 1;

b) 21x² – 5x – 26;

c) $4x-7\sqrt{x}+3$ ;

d) $12x-5\sqrt{x}-7$ .

Bài 3. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) x² – 7x + 12 = 0;

b) x² + x – 12 = 0;

c) x² – 4x – 12 = 0;

d) x² + 4x – 12 = 0.

Bài 4. Nhẩm nghiệm của các phương trình sau biết chúng đều có nghiệm:

a) x² – (m + 4)x + 3m + 3 = 0;

b) x² – (2m + 1)x + m² + m = 0;

c) x² – 2mx + m² – 1 = 0.

Bài 5. Cho phương trình mx² – 3(m + 1)x + m² – 3m – 5 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x và có một nghiệm là –1. Tìm nghiệm còn lại.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Công thức đưa thừa số vào trong dấu căn

• Công thức về căn bậc hai và căn thức bậc ba

• Công thức trục căn thức ở mẫu

• Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn

• Định lí Viète cho phương trình bậc hai một ẩn

• Công thức viết phương trình bậc hai một ẩn khi biết tổng và tích hai nghiệm của chúng

---