Công thức viết phương trình bậc hai một ẩn khi biết tổng và tích hai nghiệm của chúng (siêu hay)

Công thức viết phương trình bậc hai một ẩn khi biết tổng và tích hai nghiệm của chúng Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.

1. Công thức 

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai:

x² – Sx + P = 0.

Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng –8, tích của chúng bằng –105.

Hướng dẫn giải

Hai số cần tìm là hai nghiệm của phương trình:

x² – (–8)x + (–105) = 0 hay x² – 8x – 105 = 0.

Ta có: ∆ = (–8)² – 4.1.(–105) = 484 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm:

$x_1=\frac{8+\sqrt{484}}{2\cdot 1}=15$; $x_2=\frac{8-\sqrt{484}}{2\cdot 1}=-7$.

Vậy hai số cần tìm là 15 và – 7.

Ví dụ 2. Tìm hai số u và v biết u + v = 15, uv = 36.

Hướng dẫn giải:

Đặt S = u + v = 15, P = uv = 36.

Khi đó hai số u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – Sx + P = 0 hay x² – 15x + 36 = 0.

Ta có: ∆ = (–15)² – 4.1. 36 = 81 > 0.

Do đó, phương trình có hai nghiệm:

$x_1=\frac{15+\sqrt{81}}{2\cdot 1}=12$; $\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{x}_2=\frac{15-\sqrt{81}}{2\cdot 1}=3$.

Vậy hai số cần tìm là 12 và 3.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Cho S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂. Viết phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là x₁, x₂ trong mỗi trường hợp sau:

a) S = 9; P = –90;

b) S = 1; P = –2;

c) S = 5; P = 6;

d) S = 13; P = –48;

e) S = –2; P = –15;

f) S = –8; P = –65.

Bài 2. Có tồn tại hai số a và b trong mỗi trường hợp sau không khi biết:

a) Tổng hai số bằng 5 và tích hai số bằng 7;

b) Tổng hai số bằng –8 và tích hai số bằng –84;

c) Tổng hai số bằng –9 và tích hai số bằng 18.

d) Tổng bình phương hai số bằng 13 và tích hai số bằng 6.

Bài 3. Lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm là:

a) 7 và – 11;

b) $2+\sqrt{3}$ và $2-\sqrt{3}$ .

Bài 4. Cho phương trình 3x² + 5x – m = 0. Với giá trị nào của tham số m, phương trình có hai nghiệm x₁, x₂? Khi đó, hãy viết phương trình bậc hai có hai nghiệm $\frac{x_1}{x_2+1}$ và $\frac{x_2}{x_1+1}$ .

Bài 5. Một công ty sản xuất các khay có dạng hình hộp chứ nhật để trồng rau trong chung cư ở các thành phố. Biết diện tích mặt đáy của khay đó là 2 600 cm² và chu vi mặt đáy của khay đó là 210 cm. Tìm các kích thước mặt đáy của khay đó.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Công thức đưa thừa số vào trong dấu căn

• Công thức về căn bậc hai và căn thức bậc ba

• Công thức trục căn thức ở mẫu

• Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai một ẩn

• Định lí Viète cho phương trình bậc hai một ẩn

• Công thức nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

---