Công thức Toán 9 Hàm số bậc nhất (quan trọng)

---

---

Trọn bộ công thức Hàm số bậc nhất Toán 9 quan trọng gồm đầy đủ lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 9 vận dụng để biết cách làm bài tập Toán 9.

• Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hay, chi tiết

• Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất hay, chi tiết

• Công thức về hệ số góc của đường thẳng hay, chi tiết

• Công thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng đầy đủ, chi tiết

• Công thức tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng hay, chi tiết

---

---

---

Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số hay, chi tiết

I. Lý thuyết

1. Khái niệm về tính đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc $ℝ$.  

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị y = f(x) tương ứng cũng tăng thì hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến trên $ℝ$.

- Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của y = f(x) tương ứng giảm thì hàm số y = f(x) là hàm số nghịch biến trên $ℝ$.

2. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến

Cách 1: Dựa vào khái nệm

Với x₁, x₂ bất kì thuộc $ℝ$:

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ thì hàm số y = f(x) đồng biến trên $ℝ$.

- Nếu $x_1<x_2$ và $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên $ℝ$.

Cách 2: Xét dấu của giá trị T

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x), ta xét dấu của T, với $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$ và $x_1,x_2\in ℝ$

Nếu T < 0 thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$.

Nếu T > 0 thì hàm số đồng biến trên $ℝ$.

3. Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất.

a) Khái niệm về hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b, trong đó a, b là hai số đã cho và $a\ne 0$.

b) Công thức xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số bậc nhất

Ngoài hai cách ta đã nêu ở mục hai đối với hàm số bậc nhất ta còn cách xét hệ số a.

- Hàm số bậc nhất xác định bởi mọi x$\in ℝ$.

- Hàm số bậc nhất đồng biến trên $ℝ$ khi a > 0.

- Hàm số bậc nhất nghịch biến trên $ℝ$ khi a < 0.

II. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau:

a) y = 3x + 3

b) y = -2x – 3

Lời giải:

a) Cách 1:

Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc $ℝ$

Ta có: y = f(x) = 3x + 3

Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

$f\left(x_1\right)=3x_1+3$

$f\left(x_2\right)=3x_2+3$

Xét $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$$=\frac{\left(3x_2+3\right)-\left(3x_1+3\right)}{x_2-x_1}$

$=\frac{3x_2+3-3x_1-3}{x_2-x_1}$$=\frac{3x_2-3x_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{3\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=3>0$

$\Rightarrow$hàm số đồng biến trên $ℝ$.

Cách 2:

Ta có hàm số y = 3x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 3 > 0 nên hàm số đã cho đồng biến trên.

b) Cách 1:

Hàm số xác định với mọi giá trị x thuộc $ℝ$

Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

$f\left(x_1\right)=-2x_1-3$

$f\left(x_2\right)=-2x_2-3$

Xét $T=\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}$$=\frac{\left(-2x_2-3\right)-\left(-2x_1-3\right)}{x_2-x_1}$

$=\frac{-2x_2-3+2x_1+3}{x_2-x_1}$$=\frac{-2x_2+2x_1}{x_2-x_1}$

$=\frac{-2\left(x_2-x_1\right)}{x_2-x_1}=-2<0$

Vậy hàm số đã xét nghịch biến trên $ℝ$.

Cách 2:

Hàm số y = -2x – 3 là hàm số bậc nhất có a = -2 < 0 nên hàm số đã cho nghịch biến trên $ℝ$.

Ví dụ 2: Tìm m để

a) y = (2m + 1)x + 3 đồng biến trên $ℝ$.

b) y = (-3m – 2) x + 5 nghịch biến trên $ℝ$.

Lời giải:

a) Hàm số y = (2m + 1)x + 3 là hàm số bậc nhất có a = 2m + 1 và b = 3

Để hàm số đồng biến trên $ℝ$ thì a > 0.

$\Rightarrow$2m + 1 > 0

$\iff 2m>-1$

$\iff m>\frac{-1}{2}$

Vậy $m>\frac{-1}{2}$ thì hàm số đồng biến trên $ℝ$.

b) Hàm số y = (-3m – 2) x + 5 là hàm số bậc nhất có a = -3m – 2; b = -2

Để hàm số nghịch biến trên $ℝ$ thì a < 0

$\Rightarrow$-3m – 2 < 0

$\iff -3m<2$

$\iff m>\frac{-2}{3}$

Vậy $m>\frac{-2}{3}$ thì hàm số nghịch biến trên $ℝ$.

Cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất hay, chi tiết

I. Lý thuyết

1. Hàm số bậc nhất.

Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b với a$\ne$0.

2. Đồ thị hàm số bậc nhất

Hàm số bậc nhất y = ax + b với $a\ne 0$ có đồ thị là một đường thẳng.

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b;

- Song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với y = ax nếu b = 0.

Kí hiệu là d: y = ax + b.

3. Các bước vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Xét đường thẳng d: y = ax + b với $a\ne 0$

Trường hợp 1: Nếu b = 0

d: y = ax

Bước 1:

+ Cho x = 0$\Rightarrow$y = 0, d: y = ax đi qua gốc tọa độ O(0; 0)

+ Cho x = 1$\Rightarrow$y = a, d: y = ax đi qua điểm A(1; a)

Bước 2: Xác định điểm O và A trên hệ trục tọa độ

Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm O và A

Bước 4: Kết luận.

Trường hợp 2: Nếu b$\ne$0

Bước 1:

+ Cho x = 0$\Rightarrow$y = b, d: y = ax + b đi qua điểm A(0; b) thuộc trục tung Oy.

+ Cho y = 0$\Rightarrow$x = $\frac{-b}{a}$, d: y = ax + b đi qua điểm $B\left(\frac{-b}{a};0\right)$ thuộc trục hoành Ox.

Bước 2: Xác định hai điểm A, B trên hệ trục tọa độ

Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B

Bước 4: Kết luận.

4. Chú ý

- Trục tung là đường thẳng x = 0

- Trục hoành là đường thẳng y = 0.

II. Các ví dụ:

Ví dụ: Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) $d_1$: y = 2x – 4;

b) $d_2$: y = – x + 2;

c) $d_3$: y = 3x.

Lời giải:

a) Hàm số y = 2x – 4 có b = – 4$\ne$0

+ Cho x = 0$\Rightarrow$y = – 4 $\Rightarrow$Đồ thị hàm số đi qua A(0; – 4)

+ Cho y = 0$\Rightarrow$x = 2 $\Rightarrow$Đồ thị hàm số đi qua B(2; 0)

Xác định hai điểm A, B trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua A, B

Đồ thị hàm số là đường thẳng AB có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm A và B.

b) Hàm số y = – x + 2 có b = 2$\ne$0

+ Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 2  $\Rightarrow$Đồ thị hàm số đi qua A (0; 2)

+ Cho y = 0 $\Rightarrow$x = 2 $\Rightarrow$Đồ thị hàm số đi qua B(2; 0)

Xác định hai điểm A, B trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua A, B

Đồ thị hàm số là đường thẳng AB có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm A và B.

c) Hàm số y = 3x có b = 0

+ Cho x = 0 $\Rightarrow$y = 0  $\Rightarrow$Đồ thị hàm số  đi qua gốc tọa độ O(0; 0)

+ Cho x = 1 $\Rightarrow$y = 3 $\Rightarrow$Đồ thị hàm số đi qua A(1; 3)

Xác định điểm A trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua O, A

Đồ thị hàm số là đường thẳng OA có dạng như hình vẽ đi qua gốc tọa độ và điểm A(1; 3).

....................................

....................................

....................................

Trên đây là phần tóm tắt một số công thức Toán lớp 9 Chương 2: Hàm số bậc nhất năm học 2021 - 2022 quan trọng, để xem chi tiết mời quí bạn đọc vào từng công thức trên!

Xem thêm các bài tổng hợp Công thức Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

• Chương 2: Đường tròn

---

---

---