Công thức liên hệ giữa đường nối tâm và tâm của hai đường tròn (siêu hay)

Công thức liên hệ giữa đường nối tâm và tâm của hai đường tròn Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.

1. Công thức

• Với hai đường tròn (O; R) và (O'; r) cắt nhau, ta có: OO' < R + r.

• Với hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc trong, ta có: OO' = R – r.

• Với hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài, ta có: OO' = R + r.

• Với hai đường tròn (O; R) và (O'; r) nằm ngoài nhau, ta có: OO' > R + r.

• Với hai đường tròn (O; R) và (O'; r) nằm trong nhau, ta có: OO' < R + r.

• Với hai đường tròn (O; R) và (O'; r) trùng nhau, ta có: OO’ = 0

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O₁; 3 cm) và (O₂; R) tiếp xúc ngoài nhau, biết O₁O₂ = 7 cm. Tìm R.

Hướng dẫn giải:

Hai đường tròn (O₁; 3) và (O₂; R) tiếp xúc ngoài nhau nên O₁O₂ = R + 3. 

Khi đó (O) và (O') có hai điểm chung và đường tròn nối tâm là đường trung trực của đoạn AB. 

Hệ thức liên hệ R – r < OO' < R + r.

Ví dụ 2. Cho hai đường tròn (O; 8 cm) và (O; 6 cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp tuyến của (O). Tính độ dài dây AB.  

Hướng dẫn giải:

Vì OA là tiếp tuyến của (O') nên tam giác vuông tại A. 

Vì (O) và (O') cắt nhau tại A, B nên đường tròn nối tâm OO' là trung trực của đoạn AB. 

Gọi giao điểm của AB và OO' là I thì AB ⊥ OO' tại I là trung điểm của AB. 
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AOO' vuông tại A, ta có:

OO'² = OA² + O'A²

Suy ra OO' = $\sqrt{OA{}_2+A{}_2}=\sqrt{8{}_2+6{}_2}$ = 10 (cm).

Xét ∆AOI và ∆O'OA có:

$\widehat{A{O}^{\text{'}}O}=\widehat{OAI}$ (cùng phụ $\widehat{IA{O}^{\text{'}}}$).

$\widehat{AO{O}^{\text{'}}}$ chung.

Do đó ∆AOI ᔕ ∆O'OA (g.g)

Suy ra $\frac{AI}{O^{\text{'}}A}=\frac{OA}{O{O}^{\text{'}}}$ nên AI = $\frac{OA\cdot O^{\text{'}}A}{O{O}^{\text{'}}}=\frac{8\cdot 6}{10}$ = 4,8 (cm).

Do đó AB = 2AI = 9,6 cm.

Vậy độ dài dây AB bằng 9,6 cm.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai đường tròn (O₁; 4 cm) và (O₂; R) tiếp xúc ngoài nhau, biết O₁O₂ = 10 cm. Tìm R.

Bài 2. Cho hai đường tròn (O₁; 3 cm ) và (O₂; R) cắt nhau, biết O₁O₂ = 11 cm và R > 3. Bán kính R có thể bằng bao nhiêu?

Bài 3. Cho hai đường tròn (O; 15 cm) và (I; 20 cm) cắt nhau tại hai điểm A và B . Biết rằng O và I nằm hai phía đối với đường thẳng AB và AB = 24 cm . Tính đoạn nối tâm OI?

Bài 4. Cho hai đường tròn (O; 10 cm ) và (I; 6 cm). Xác định vị trí hai đường tròn biết OI = 3 cm?

Bài 5. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ các bán kính OB // O’D với B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO’. Đường thẳng DB và OO’ cắt nhau tại I. Tiếp tuyến chung ngoài GH của (O) và (O’) với G, H nằm ở nửa mặt phẳng bờ OO’ không chứa B, D. Tính PI theo R và R’.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật và hình vuông

• Tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp

• Công thức tìm góc quay của phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

---