Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều (siêu hay)

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.

1. Công thức 

Cho tam giác đều cạnh a.

⦁ Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác được tính bởi công thức: $R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$.

⦁ Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác được tính bởi công thức: $r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$.

Chú ý: Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều là trọng tâm của tam giác, đồng thời cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đều đó.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 4 cm. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Ta lấy O là giao điểm điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC và vẽ đường tròn (O; OA).

Đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính:

R = $\frac{\sqrt{3}}{3}AB=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 5=\frac{5\sqrt{3}}{3}$ (cm).

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) bán kính r nội tiếp tam giác đều cạnh bằng 6 dm. Tìm bán kính r.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều có bán kính là r = $\frac{\sqrt{3}}{6}\cdot 6=\sqrt{3}$ (cm).

Ví dụ 3. Tính tỉ số của bán kính đường tròn nội tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đều.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tam giác đều đã cho có cạnh a. Khi đó:

⦁ Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác được tính bởi công thức: $R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$.

⦁ Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác được tính bởi công thức: $r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$.

Suy ra $\frac{r}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{3}a}=\frac{1}{2}$.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 4 cm. Hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Bài 2. Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC có bán kính bằng 5 cm. Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác.

Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = AC và $\widehat{C}=60°$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 5 cm.

Bài 4. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH = 6 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Bài 5. Biển báo “Vòng Giao nhau chạy theo vòng xuyến” có ý nghĩa báo trước nơi giao nhau có bố trí đảm bảo an toàn ở giữa nút giao. Các loại xe qua nút giao phải đi vòng xuyến quanh đi theo chiều mũi tên. Biển báo này được thiết kế như hình dưới đây:

Biết chiều rộng của viền mép đỏ là 5 cm, khoảng cách từ tâm biển báo đến mép ngoài của đường tròn màu đen khoảng 18,76 cm. Em hãy tính xem chu vi của biển báo này khoảng bao nhiêu? Giả sử rằng mép ngoài của đường tròn màu đen tiếp xúc với mép trong của viền màu đỏ có dạng hình tam giác đều.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật và hình vuông

• Tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp

• Công thức tìm góc quay của phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

• Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

• Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

---