Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật và hình vuông (siêu hay)

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật và hình vuông Toán 9 sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 9.

1. Công thức 

a) Đối với hình chữ nhật

Xét hình chữ nhật ABCD có đường chéo là AC = BD.

⦁ Đường tròn ngoại tiếp (E) có tâm E là tâm hình chữ nhật (giao điểm hai đường chéo);

⦁ Bán kính của (E) được tính bởi công thức: R = $\frac{AC}{2}=\frac{BD}{2}$.

b) Đối với hình vuông

Xét hình vuông ABCD có cạnh a.

⦁ Đường tròn ngoại tiếp (O) có tâm O là tâm của hình vuông (giao điểm hai đường chéo);

⦁ Bán kính của (O) được tính bởi công thức: R = $\frac{\sqrt{2}}{2}a$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, BC = 15 cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn và tính bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo và mỗi đường chéo là một đường kính của đường tròn.

Xét ∆ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore ta có:

AC² = AB² + BC² = 8² + 15² = 289.

Suy ra AC = $\sqrt{289}$ = 17 (cm).

Vậy bán kính của đường tròn đó là 17 : 2 = 8,5 (cm).

Ví dụ 2. Tính tỉ số giữa chu vi của một hình vuông và chu vi của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó.

Lời giải:

Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng a và có đường tròn ngoại tiếp là đường tròn (O).

Khi đó bán kính của đường tròn (O) là R = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Chu vi của đường tròn (O) là: C₁ = $2\pi R=2\pi \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\pi a\sqrt{2}$.

Chu vi của hình vuông ABCD là: C₂ = 4a.

Tỉ số giữa chu vi của hình vuông ABCD và chu vi của đường tròn (O) ngoại tiếp hình vuông đó là: $\frac{C_2}{C_1}=\frac{4a}{\pi a\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\pi }$.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 5 cm. Hãy tính độ dài cạnh của hình vuông (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Bài 2. Cho hình chữ nhật DEGF có ED = 6 và EF = 12.

a) Tính cạnh DF;

b) Tính diện tích hình chữ nhật DEGF;

c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật DEGF.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ.

Bài 4. Cho hình thoi ABCD có AB = 13 cm, AO = 12 cm (O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ.

Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy điểm E, F, G, H sao cho AE = $\frac{1}{2}$EB, BF = $\frac{1}{2}$FC, CG = $\frac{1}{2}$GD, DH = $\frac{1}{2}$HA. Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác EFGH bằng 4 cm, tính độ dài cạnh của hình vuông ABCD.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 9 quan trọng hay khác:

• Tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp

• Công thức tìm góc quay của phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

• Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

• Công thức tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón

• Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích của hình cầu

---