Công thức Toán 9 Đường tròn (quan trọng)

---

---

Trọn bộ công thức Đường tròn Toán 9 quan trọng gồm đầy đủ lý thuyết và bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 9 vận dụng để biết cách làm bài tập Toán 9.

• Công thức tính góc ở tâm và số đo của một cung

• Công thức tính số đo góc nội tiếp của đường tròn

• Công thức tính độ dài của cung tròn

• Công thức tính diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

• Công thức liên hệ giữa đường nối tâm và tâm của hai đường tròn

• Công thức liên hệ đường kính và dây cung đầy đủ, chi tiết

• Công thức liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây hay, chi tiết

• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn đầy đủ, chi tiết

• Vị trí tương đối của hai đường tròn đầy đủ, chi tiết

• Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đầy đủ, chi tiết

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đều

• Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của hình chữ nhật và hình vuông

• Tổng số đo hai góc đối nhau của một tứ giác nội tiếp

• Công thức tìm góc quay của phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

---

---

---

Công thức liên hệ đường kính và dây cung đầy đủ, chi tiết

I. Lý thuyết:

- Trong các dây của đường tròn đường kính là dây dài nhất.

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD.

Ta có: $CD\le AB$

Dấu “=” xảy ra khi dây CD cũng là đường kính của đường tròn.

- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

- Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB, dây CD không đi qua tâm, I là trung điểm của CD. Khi đó:

+ Nếu AB vuông góc với CD thì AB đi qua I.

+ Nếu AB đi qua I thì AB vuông góc với CD.

II. Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm (O; 3cm), dây CD không đi qua tâm. Tính khoảng cách từ tâm O đến dây CD biết CD = 4cm.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của CD.

Vẽ đường kính AB đi qua trung điểm I của CD.

Vì AB đi qua trung điểm I của CD nên AB vuông góc với CD tại I (tính chất)

Khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến CD là OI.

Vì I là trung điểm của CD nên IC = ID = 2cm.

Ta có: OC = R = 3cm.

Xét tam giác OIC vuông tại I ta có:

$O{C}^2=O{I}^2+I{C}^2$(định lý Py – ta – go)

$\iff 3^2=O{I}^2+2^2$

$\iff 9=O{I}^2+4$

$\iff O{I}^2=9-4$

$\iff O{I}^2=5$

$\Rightarrow OI=\sqrt{5}cm.$

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một dây cung CD. Kẻ AE và BF vuông góc với CD lần lượt tại E và F. Chứng minh CE = BF.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của CD

$\Rightarrow$ OH$\perp$CD  $\Rightarrow$OH$\perp$EF

Vì $\left\{\begin{array}{l}BF\perp EF\\ AE\perp EF\end{array}\right.$$\Rightarrow AE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BF$

Xét tứ giác ABFE có:

AE // BF

$\Rightarrow$ Tứ giác ABFE là hình thang

Lại có OH$\perp$EF nên OH // AE // BF

Mà OH đi qua trung điểm O của AB nên OH đi qua trung điểm của EF

$\Rightarrow$ H là trung điểm của EF

$\Rightarrow$ HE = HF

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}HE=EC+CH\\ HF=DF+HD\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}EC=HE-CH\\ DF=HF-HD\end{array}\right.$

Mà HE = HF (cmt) ; CH = HD (H là trung điểm của CD)

Do vậy EC = DF (điều phải chứng minh).

Công thức liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây hay, chi tiết

I. Lý thuyết

Cho đường tròn (O), hai dây AB, DC của đường tròn.

+ Nếu dây AB = CD thì khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến CD.

+ Nếu khoảng cách từ O đến AB bằng khoảng cách từ O đến CD thì dây AB = CD.

Xét hình vẽ trên:

 Nếu AB = CD thì OE = OF

 Nếu OE = OF thì AB = CD

- Trong hai dây của một đường tròn

+ Dây nào có độ dài lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó có độ dài lớn hơn.

Xét hình vẽ:

Nếu AB > CD thì OE < OF

Nếu OE < OF thì AB > CD

II. Ví dụ:

Ví dụ 1: Trong các khẳng định sau đây, câu nào đúng câu nào sai:

a) Hai dây có độ dài bằng nhau thì khoảng cách từ tâm đến mỗi dây đó là bằng nhau.

b) Dây AB lớn hơn dây CD thì khoảng cách từ tâm đến dây AB lớn hơn khoảng cách từ tâm đến dây CD.

c) AB, CD là hai dây của đường tròn, khoảng cách từ tâm đến AB và CD lần lượt là 4cm và 5cm nên dây AB lớn hơn dây CD.

Lời giải:

a) đúng vì theo tính chất hai dây bằng nhau.

b) sai vì dây AB lớn hơn dây CD nên dây AB gần tâm hơn dây CD do đó khoảng cách từ tâm đến dây AB nhỏ hơn khoảng cách từ tâm đến dây CD.

c) đúng vì khoảng cách từ tâm đến dây AB nhỏ hơn khoảng cách từ tâm đến dây CD nên dây AB lớn hơn dây CD.

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây CD, vẽ hai dây AD và BC song song với nhau. Chứng minh:

a) AC = BD;

b) CD là đường kính của (O).

Lời giải:

a) Gọi E là trung điểm của AD; G là trung điểm của BC

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}O\text{}E\perp AD\\ OG\perp BC\end{array}\right.$ (tính chất)

Mà AD // BC nên O, E, G thẳng hàng

Xét $\Delta AOE$ và $\Delta BOG$ có

OA = OB  (bán kính)

$\widehat{AO\text{}E}=\widehat{BOG}$ (hai góc đối đỉnh)

$\widehat{O\text{}EA}=\widehat{OGB}=90°$

Do đó $\Delta AOE$ = $\Delta BOG$(cạnh huyền – góc nhọn)

$\Rightarrow$AE = BG mà E là trung điểm của AD, G là trung điểm của BC

$\Rightarrow$AD = BC.

Xét tứ giác ADBC có:

AD = BC (chứng minh trên)

AD // BC (giả thuyết)

Do đó tứ giác ADBC là hình bình hành

$\Rightarrow$AC = BD (tính chất).

b) Vì ADBC là hình bình hành nên hai đường chéo BA và CD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà O là trung điểm AB nên O cũng là trung điểm của CD

$\Rightarrow$O, C, D thẳng hàng

$\Rightarrow$CD là đường kính của đường tròn (O).

....................................

....................................

....................................

Trên đây là phần tóm tắt một số công thức Toán lớp 9 Chương 2: Đường tròn năm học 2021 - 2022 quan trọng, để xem chi tiết mời quí bạn đọc vào từng công thức trên!

Xem thêm các bài tổng hợp Công thức Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác:

• Chương 2: Hàm số bậc nhất

---

---

---