Công thức Toán 10 Hình học cả năm (sách mới - đầy đủ)

---

---

Tổng hợp công thức Toán 10 Hình học đầy đủ học kì 1 & học kì 2 chi tiết nhất sách mới Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo, Cánh diều như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán 10.

Công thức Hệ thức lượng trong tam giác

• Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau

• Các công thức lượng giác cơ bản

• Định lí côsin và hệ quả

• Định lí sin và hệ quả

• Các công thức tính diện tích tam giác

• Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

Công thức Vectơ

• Công thức tính độ dài vectơ

• Công thức, tính chất về tổng và hiệu hai vectơ

• Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành

• Công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác

• Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ

• Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ

• Công thức, tính chất về tích vô hướng của hai vectơ

Công thức Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

• Công thức xác định tọa độ của một vectơ, một điểm

• Công thức liên quan đến tọa độ hai vectơ bằng nhau

• Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

• Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ của một vectơ trong mặt phẳng

• Công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

• Công thức liên quan đến tọa độ về điều kiện để hai vectơ vuông góc, cùng phương

• Công thức tính độ dài của vectơ thông qua tọa độ của vectơ đó

• Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ thông qua tọa độ của vectơ đó

• Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng

• Công thức xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

• Công thức xác định tâm, bán kính của đường tròn

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ và tiêu cự của Elip

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, độ dài trục thực, độ dài trục ảo và tiêu cự của Hypebol

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của Parabol

Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau

1. Công thức

a. Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta có:

sin(90° – α) = cosα;

cos(90° – α) = sinα;

tan(90° – α) = cotα;

cot(90° – α) = tanα.

b. Công thức lượng giác của hai góc bù nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta có:

sin(180° – α) = sinα;

cos(180° – α) = – cosα;

tan(180° – α) = – tanα, α ≠ 90°;

cot(180° – α) = – cotα, 0° < α < 180°.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho biết $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2};\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2};\tan 45°=1$. Tính sin135°; cos150°, tan135°.

Hướng dẫn giải:

Ta có: sin135° = sin(180° – 45°) =sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

cos150° = cos(180° – 30°) = – cos30° = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

tan135° = tan(180° – 45°) = – tan45° = – 1.

Ví dụ 2. Tính

a) A = 2sin135° + tan135° + 2cos45°;

b) B = 2sin30° – 3cos150° + cot135°;

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°.

Hướng dẫn giải:

a)

Ta có: sin135° = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; tan135° = – tan45° = – 1 và cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra A = 2sin135° + tan135° + 2cos45° = $2.\frac{\sqrt{2}}{2}-1+2.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1+2\sqrt{2}$.

b)

Ta có: sin30° = $\frac{1}{2}$; cos150° = – cos30° = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ và cot135° = – cot45° = – 1.

Vậy B = 2sin30° – 3cos150° + cot135° = $2.\frac{1}{2}-3.\frac{-\sqrt{3}}{2}-1=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

c)

C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°

= cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°)

= cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35°(giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau)

= 0.

Vậy C = 0.

................................

................................

................................

Các công thức lượng giác cơ bản

1. Công thức 

Cho góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta có các công thức lượng giác cơ bản sau:

(1) cos²α + sin²α = 1;

(2) tanα.cotα = 1; với 0° < α < 180°, α ≠ 90°;

(3) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$với α ≠ 90°;

(4) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$với 0° < α < 180°.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Tính

a) cosα, biết $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$và α là góc nhọn.

b) tanα, biết $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$, 0° < α < 180°.

 Hướng dẫn giải:

a) Ta có: cos²α + sin²α = 1

⇒ ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{2}{3}$

Vì α là góc nhọn nên cosα > 0

$\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

b)

+) Ta có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

⇒ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\left(\frac{-1}{3}\right)}^2}$

⇒tan²α = 9 – 1 = 8

⇒ $\tan \alpha =\pm 2\sqrt{2}$

Mà $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$suy ra α là góc tù

Vậy $\tan \alpha =-2\sqrt{2}$.

Ví dụ 2.Cho $\sin \alpha =\frac{1}{5}$, với α là góc tù, hãy tính A = 6tanα – 5cosα.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: cos²α + sin²α = 1

⇒ ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}$.

Vì α là góc tù nên cosα < 0

$\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{24}{25}}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

+) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{-2\sqrt{6}}{5}}=\frac{-\sqrt{6}}{12}$.

Vậy A = 6tanα – 5cosα = $6.\frac{-\sqrt{6}}{12}-5.\frac{-2\sqrt{6}}{5}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

................................

................................

................................

---

---

---

Lưu trữ: Công thức Toán 10 Hình học (sách cũ)

• Công thức giải nhanh Toán lớp 10 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

• Công thức giải nhanh Toán lớp 10 Chương 2 Hình học chi tiết nhất

• Công thức giải nhanh Toán lớp 10 Chương 3 Hình học chi tiết nhất

+ Quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD, ta có:

(Tổng hai vectơ cạnh chung điểm đầu của một hình bình hành bằng vectơ đường chéo có cùng điểm đầu đó.)

+ Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ tùy ý ta có

(tính chất giao hoán)

(tính chất kết hợp)

(tính chất của vectơ - không)

+ Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta luôn có:

+ Quy tắc trừ:

+ Với 4 điểm A, B, C, D bất kì, ta luôn có:

+ Công thức trung điểm:

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi

- Với mọi điểm M bất kì ta có:

+ Công thức trọng tâm

- G là trung điểm của tam giác ABC khi và chỉ khi

- Với mọi điểm M bất kì ta có:

+ Tính chất tích của vectơ với một số

Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có

+ Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ cùng phương là có một số k để

+ Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho

+ Hệ trục tọa độ

- Hai vectơ bằng nhau:

Nếu = (x; y) và = (x'; y') thì

- Tọa độ của vectơ

Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B) thì ta có = (x_B - x_A; y_B - y_A)

- Cho = (u₁; u₂) và = (v₁; v₂). Khi đó

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Cho đoạn thẳng AB có A(x_A; y_A), B(x_B; y_B) và I(x_I; y_I) là trung điểm của AB

Khi đó ta có

- Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC có A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C). Khi đó tọa độ trọng tâm G(x_G; y_G) của tam giác ABC là:

1. Tích vô hướng của hai vectơ

- Cho hai vectơ đều khác vectơ . Tích vô hướng của hai vectơ là một số, kí hiệu là và

+ Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ bất kì và mọi số k ta có:

(tính chất giao hoán)

(tính chất phân phối)

+ Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

+ Hai vectơ vuông góc: a₁b₁ + a₂b₂ = 0

+ Độ dài của vectơ

+ Góc giữa hai vectơ

Cho đều khác vectơ thì ta có:

+ Khoảng cách giữa hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B):

2. Các hệ thức lượng trong tam giác

+ Hệ thức lượng trong tam giác vuông

BC² = AB² + AC (định lý Py-ta-go)

AB² = BH.BC; AC² = CH.BC

AH2 = BH.CH

AH.BC = AB.AC

+ Định lý côsin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c thì

a² = b² + c² - 2bc cosA

b² = a² + c² - 2ac cosB

c² = a² + b² - 2ab cosC

Hệ quả định lý côsin

+ Công thức độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi m_a, m_b, m_c là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó ta có

+ Định lý sin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

3. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

ha; hb; hc lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C của tam giác ABC.

R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và p = là nửa chu vi của tam giác ABC. Khi đó ta có

+ Đặc biệt

Tam giác vuông: S = x tích hai cạnh góc vuông

Tam giác đều cạnh a: S =

Hình vuông cạnh a: S = a²

Hình chữ nhật: S = dài x rộng

Hình bình hành ABCD: S = đáy x chiều cao hoặc S = AB.AD.sinA

Hình thoi ABCD: S = đáy x chiều cao

S = AB.AD.sinA

S = x tích hai đường chéo

Hình tròn: S = πR² (R là bán kính)

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

• Công thức giải nhanh Toán lớp 10 Chương 3 Đại số chi tiết nhất

• Công thức giải nhanh Toán lớp 10 Chương 4 Đại số chi tiết nhất

• Công thức giải nhanh Toán lớp 10 Chương 5 Đại số chi tiết nhất

• Công thức giải nhanh Toán lớp 10 Chương 6 Đại số chi tiết nhất

---

---

---