Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau, bù nhau từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a. Công thức lượng giác của hai góc phụ nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta có:

sin(90° – α) = cosα;

cos(90° – α) = sinα;

tan(90° – α) = cotα;

cot(90° – α) = tanα.

b. Công thức lượng giác của hai góc bù nhau:

Với mọi góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta có:

sin(180° – α) = sinα;

cos(180° – α) = – cosα;

tan(180° – α) = – tanα, α ≠ 90°;

cot(180° – α) = – cotα, 0° < α < 180°.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho biết $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2};\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2};\tan 45°=1$. Tính sin135°; cos150°, tan135°.

Hướng dẫn giải:

Ta có: sin135° = sin(180° – 45°) =sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

cos150° = cos(180° – 30°) = – cos30° = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

tan135° = tan(180° – 45°) = – tan45° = – 1.

Ví dụ 2. Tính

a) A = 2sin135° + tan135° + 2cos45°;

b) B = 2sin30° – 3cos150° + cot135°;

c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°.

Hướng dẫn giải:

a)

Ta có: sin135° = sin45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; tan135° = – tan45° = – 1 và cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Suy ra A = 2sin135° + tan135° + 2cos45° = $2.\frac{\sqrt{2}}{2}-1+2.\frac{\sqrt{2}}{2}=-1+2\sqrt{2}$.

b)

Ta có: sin30° = $\frac{1}{2}$; cos150° = – cos30° = $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ và cot135° = – cot45° = – 1.

Vậy B = 2sin30° – 3cos150° + cot135° = $2.\frac{1}{2}-3.\frac{-\sqrt{3}}{2}-1=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

c)

C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°

= cos 15° + cos 35° – sin (90° – 15°) – sin (90° – 35°)

= cos 15° + cos 35° – cos 15° – cos 35°(giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau)

= 0.

Vậy C = 0.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có $\hat{B}=40°,\hat{C}=30°$. Tính các giá trị lượng giác của góc A.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}$ = 180° (tổng ba góc trong tam giác ABC)

Suy ra $\hat{A}$= 180° – ( $\hat{B}$+ $\hat{C}$) = 180° – (40° + 30°) = 110.

Vậy sinA = sin110° = sin70° ≈ 0,94;

cosA = cos110° = – cos70° ≈ – 0,34;

tanA = tan110° = – tan70° ≈ – 2,75;

cotA = cot110° = – cot70° ≈ – 0,36.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác: sin150°; cos170°, cot125°.

Bài 2. Tính

a) A = sin120° – 2tan135°;

b) B = 4cos30° + 3tan120° – cot135°;

c) C = 2sin60° + 6cos135° – tan²120°.

Bài 3. Cho tam giác ABC, có số đo ba góc A, B, C lần lượt là 60°, 45°, 75°. Gọi α là góc ngoài của tam giác tại đỉnh B. Tính sinα, cosα, tanα, cotα.

Bài 4. Cho tam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm tam giác và $\alpha =\widehat{AGB}$. Tính sinα, cosα, tanα, cotα.

Bài 5. Cho góc α với $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính giá trị của biểu thức A = sin²α + 7cos²α.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Các công thức lượng giác cơ bản

• Định lí côsin và hệ quả

• Định lí sin và hệ quả

• Các công thức tính diện tích tam giác

• Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

---