Định lí côsin và hệ quả (hay, chi tiết)

Bài viết Định lí côsin và hệ quả chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Định lí côsin và hệ quả từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Định lí côsin

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c.

Khi đó, ta có:

a² = b² + c² – 2.b.c.cosA;

b² = a² + c² – 2.a.c.cosB;

c² = a² + b² – 2a.b.cosC.

b) Hệ quả của định lí côsin

Từ định lí côsin ta suy ra:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$;

cosB = $\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$;

cosC = $\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có $\hat{A}=85°$, AB = 15 cm và AC = 7 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

= 15² + 7² – 2.15.7.cos85°

≈ 255,7

Vậy BC ≈ 16 (cm).

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, có $\hat{C}=125°$, AC = 8 và BC = 16. Tính độ dài cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

+) Theo định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

AB² = AC² + BC² – 2AC.BC.cosC

= 8² + 16² – 2.8.16.cos125°

≈ 466,84

Suy ra AB ≈ 21,6.

+) Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{21,6^2+8^2-{16}^2}{2.21,6.8}$≈ 0,79.

Suy ra $\hat{A}\approx 37°49\text{'}$.

Suy ra $\hat{B}=180°-\hat{A}-\hat{C}\approx 180°-37°49\text{'}-125°\approx 17°11\text{'}$(áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

Ví dụ 3. Cho một tam giác với các kích thước như trong hình vẽ. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Hướng dẫn giải:

Theo hệ quả của định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

+) $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{{200}^2+{300}^2-{350}^2}{\mathrm{2.200.300}}=\frac{1}{16}$.

Suy ra $\hat{A}\approx 86°25\text{'}$.

+) $\cos B=\frac{B{A}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.BA.BC}=\frac{{200}^2+{350}^2-{300}^2}{\mathrm{2.200.350}}=\frac{29}{56}$.

Suy ra $\hat{B}\approx 58°49\text{'}$.

Suy ra $\hat{C}=180°-\hat{A}-\hat{C}\approx 180°-86°25\text{'}-58°49\text{'}\approx 34°46\text{'}$(áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính độ dài cạnh DF, MP trong các tam giác sau:

Bài 2. Tính các cạnh và góc chưa biết trong hình sau:

Bài 3. Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở hình sau:

Bài 4. Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước (điểm A và điểm B). Biết từ một điểm C cách hai đầu hồ lần lượt là 750 m và 900 m người ta quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 75°.

Bài 5. Cho tam giác ABC, biết cạnh AB = 25, AC = 30 và $\hat{A}=40°$. Tính các góc, các cạnh còn lại của tam giác.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Định lí sin và hệ quả

• Các công thức tính diện tích tam giác

• Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

• Công thức tính độ dài vectơ

• Công thức, tính chất về tổng và hiệu hai vectơ

---