Công thức, tính chất về tổng và hiệu hai vectơ (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức, tính chất về tổng và hiệu hai vectơ chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức, tính chất về tổng và hiệu hai vectơ từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Tổng hai vectơ:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Từ một điểm tùy ý A, lấy hai điểm B, C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Tính chất tổng hai vectơ:

- Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$;

- Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$;

- Với mọi $\overrightarrow{a}$ ta luôn có: $\overrightarrow{a}+0=\overrightarrow{a}+0=\overrightarrow{a}$.

b) Hiệu hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, hiệu hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là vectơ $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ được kí hiệu là $\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Tính các tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},$$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$(vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$)

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$.

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}$với E là điểm nằm trên tia đối của tia BA sao cho BE = AB.

Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD tâm O. Tính tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD},\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC},\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{DA},\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{CO}$.

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC và BD; AB // = CD, AD // = BC.

Khi đó ta có:

+) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{AO}$

+) $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{DC}$

+) $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BO}$

+) $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$.

Ví dụ 3.Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC. Tính |$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}$|và |$\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{DA}$|.

Hướng dẫn giải:

N là trung điểm của DC nên DN = NC = $\frac{DC}{2}=\frac{a}{2}$.

+) Ta có: $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}$

Suy ra |$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}$| = |$\overrightarrow{AN}$| = AN = $\sqrt{A{D}^2+D{N}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.

+) Gọi P là trung điểm của AB, suy ra NP song song và bằng với DA nên $\overrightarrow{NP\text{}}=\overrightarrow{DA}$.

Suy ra$\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{PN}$

hay |$\overrightarrow{NC}-\overrightarrow{DA}$| = |$\overrightarrow{PN}$| = PN = DA = a.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho năm điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}$.

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm tổng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{MA}$, $\overrightarrow{AN}$và $\overrightarrow{CN}$.

Bài 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2. Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính độ dài của tổng hai vectơ $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{AG}$.

Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm tổng $\overrightarrow{NC}$và $\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{AM}$và $\overrightarrow{CD}$và tìm hiệu $\overrightarrow{AD}$và $\overrightarrow{NC}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC. Tìm hiệu $\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN},\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{NC},\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{PN},\overrightarrow{BP}-\overrightarrow{CP}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành

• Công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác

• Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ

• Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ

---