Công thức tính góc giữa hai vectơ (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính góc giữa hai vectơ chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính góc giữa hai vectơ từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$. Góc $\widehat{AOB}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Kí hiệu: ($\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$).

Nếu ($\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$) = 90^o thì ta nói rằng vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{a}$$\perp$$\overrightarrow{b}$.

Chú ý:

+ ($\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$) = ($\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a}$).

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác $\overrightarrow{0}$ luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\overrightarrow{0}$ luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ hoặc $\overrightarrow{b}$ là vectơ $\overrightarrow{0}$ thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC}=60°$. Tính góc giữa $\overrightarrow{BA}$và $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải:

+) $\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{ABC}$ = 60°.

+) Gọi D là điểm đối với A qua B

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}$

Do đó, $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{DBC}=180°-60°=120°$(góc DBC kề bù với góc ABC).

Ví dụ 2. Cho hình thang vuông ABCD có đáy là AB và CD và CD = 2AB = 2AD. Gọi M là trung điểm của DC, AM và BD cắt nhau tại O. Tính $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OM}\right),\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\right),\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{CB}\right)$.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: DM = AB = AD và DM song song với AB, AB vuông góc với AD

Suy ra ABMD là hình vuông.

+) Ta có: AB = MC và AB song song với MC

Suy ra AMCB là hình bình hành.

+) $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{OM}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}\right)=\widehat{OAB}=45°$.

+) $\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{BC}\right)=\left(\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AM}\right)=\widehat{DAM}=45°$.

+) $\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{MA}\right)$

Lại có OB và MA vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{OB}\perp \overrightarrow{MA}$, do đó $\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{MA}\right)=90°$.

Vậy $\left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{CB}\right)=90°$.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, có $\hat{C}=125°$, AC = 8 và BC = 16. Tính $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}$.

+) Theo định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

AB² = AC² + BC² – 2AC.BC.cosC

= 8² + 16² – 2.8.16.cos125°

≈ 466,84

Suy ra AB ≈ 21,6.

+) Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{21,6^2+8^2-{16}^2}{2.21,6.8}$ ≈ 0,79.

Suy ra $\hat{A}\approx 37°24\text{'}$

Vậy $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{BAC}\approx 37°24\text{'}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$. Tính $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right)$, $\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{AB}\right)$, $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA}\right)$.

Bài 2. Hình chữ nhật ABCD có AB = 3, AD = 4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Tính $\left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{AD}\right)$, $\left(\overrightarrow{MB},\overrightarrow{AN}\right)$.

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD. Xác định $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{MN}\right)$, $\left(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{AC}\right)$, $\left(\overrightarrow{NC},\overrightarrow{AC}\right)$.

Bài 4. Tam giác MNP được cho như trong hình vẽ. Hãy tính $\left(\overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN}\right)$, $\left(\overrightarrow{PN},\overrightarrow{NM}\right)$.

Bài 5. Cho tam giác đều ABC, G là trọng tâm tam giác, M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tính $\left(\overrightarrow{NM},\overrightarrow{BE}\right)$, $\left(\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB}\right)$, $\left(\overrightarrow{CN},\overrightarrow{EG}\right)$.

4. Bài tập bổ sung

Bài 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{i}$ và $\overrightarrow{u}=\left(-\sqrt{3};0;1\right)$.

Bài 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;1;1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(2;1;-1\right)$.

Bài 3. Trong không gian tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(0;1;0\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-1;2;-1\right)$.

Bài 4. Trong không gian tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{i}+4\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{j}+3\overrightarrow{k}$.

Bài 5. Trong không gian tọa độ Oxyz, tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;-2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-1;-1;0\right)$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức, tính chất về tích vô hướng của hai vectơ

• Công thức tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác

• Công thức xác định số quy tròn và số gần đúng với độ chính xác cho trước

• Công thức tính số trung bình và cách xác định mốt

• Công thức tính trung vị và tứ phân vị

---