Công thức, tính chất về tích vô hướng của hai vectơ (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức, tính chất về tích vô hướng của hai vectơ chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức, tính chất về tích vô hướng của hai vectơ từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

a) Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = |$\overrightarrow{a}$|.|$\overrightarrow{b}$|.cos($\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$).

Chú ý:

+) Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng $\overrightarrow{0}$, ta quy ước $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = $\overrightarrow{0}$.

+) $\overrightarrow{a}$ ⊥ $\overrightarrow{b}$ ⇔ $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = 0.

+) $\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{a}$ còn được viết là ${\overrightarrow{a}}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{a}$.

Ta có ${\overrightarrow{a}}^2$ = |$\overrightarrow{a}$|.|$\overrightarrow{a}$|.cos0^o = ${\overrightarrow{a}}^2$.

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

b) Tính chất của tích vô hướng :

Với ba vectơ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ , $\overrightarrow{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có :

+) $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = $\overrightarrow{v}$.$\overrightarrow{u}$ (tính chất giao hoán);

+) $\overrightarrow{u}$. ($\overrightarrow{v}$+ $\overrightarrow{w}$)= $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$+ $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{w}$ (tính chất phân phối đối với phép cộng) ;

+) (k$\overrightarrow{u}$) . $\overrightarrow{v}$= k ($\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$) = $\overrightarrow{u}$.( k$\overrightarrow{v}$).

Chú ý: Từ tính trên, ta có thể chứng minh được :

$\overrightarrow{u}$. ($\overrightarrow{v}$– $\overrightarrow{w}$)= $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$– $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{w}$(tính chất phân phối đối với phép trừ) ;

($\overrightarrow{u}$+ $\overrightarrow{v}$)² = ${\overrightarrow{u}}^2$+ 2$\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$+ ${\overrightarrow{v}}^2$; ($\overrightarrow{u}$– $\overrightarrow{v}$)² = ${\overrightarrow{u}}^2$– 2$\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$+ ${\overrightarrow{v}}^2$;

($\overrightarrow{u}$+ $\overrightarrow{v}$).($\overrightarrow{u}$– $\overrightarrow{v}$) = ${\overrightarrow{u}}^2$ – ${\overrightarrow{v}}^2$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có $\hat{A}=85°$, AB = 15 cm và AC = 7 cm. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = |$\overrightarrow{AB}$|.|$\overrightarrow{AC}$|.cos$\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

= AB . AC . cos$\widehat{BAC}$

= 15 . 7 . cos85°

≈ 9,15.

Ví dụ 2.Cho tam giác ABC vuông tại B, BA = a, BC = a$\sqrt{3}$. Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$.

Hướng dẫn giải:

+) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$= |$\overrightarrow{AC}$|.|$\overrightarrow{CB}$|.cos$\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$

+) $AC=\sqrt{B{A}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.

+) Vẽ $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$

Suy ra $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)=\widehat{CAD}$

+) $\tan \widehat{BAC}=\frac{BC}{BA}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

Suy ra $\widehat{BAC}=60°$

Suy ra $\widehat{CAD}=\widehat{BAC}+\widehat{BAD}$ = 60° + 90° = 150°.

Vậy $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$ = 2a . a$\sqrt{3}$ . cos150° = – 3a.

Ví dụ 3.Một người dùng lực $\overrightarrow{F}$có độ lớn là 100 N làm một vật di chuyển một đoạn 120 m. Biết lực $\overrightarrow{F}$hợp với hướng dịch chuyển một góc 60°. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Hướng dẫn giải:

Hướng dịch chuyển theo vectơ $\overrightarrow{d}$.

Ta có công thức: A = $\overrightarrow{F}$.$\overrightarrow{d}$ = |$\overrightarrow{F}$|.|$\overrightarrow{d}$|.cos($\overrightarrow{F}$,$\overrightarrow{d}$) = 100 . 120 . cos60° = 6000 (J)

Vậy công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$là A = 6000 J.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính tích vô hướng:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$;

b) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}$;

c) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$.

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 2AB = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, BC. Tính:

a) $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{DN}$;

b) $\left(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}\right)\overrightarrow{CD}$;

c) $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{BD}$;

d) $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BN}$.

Bài 3. Một người dùng lực $\overrightarrow{F}$có độ lớn là 150 N làm một vật di chuyển một đoạn 90 m. Biết lực $\overrightarrow{F}$hợp với hướng dịch chuyển một góc 45°. Tính công sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$.

Bài 4. Cho hình thang vuông ABCDcó đáy lớn AB = 4a, đáy nhỏ CD = 2a, đường cao AD = 3a; I là trung điểm của AD. Khi đó $\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right).\overrightarrow{ID}$ bằng bao nhiêu?

Bài 5. Cho tam giác ABC, có $\hat{C}=125°$, AC = 8 và BC = 16. Tính $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác

• Công thức xác định số quy tròn và số gần đúng với độ chính xác cho trước

• Công thức tính số trung bình và cách xác định mốt

• Công thức tính trung vị và tứ phân vị

• Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ

---