Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …., x_n.

a) Công thức tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

+) Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R = x_n – x₁.

+) Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ∆_Q, là hiệu giữa Q₃ và Q₁, tức là:

∆_Q = Q₃ – Q₁.

b) Giá trị ngoại lệ:

Phần tử x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Điểm Toán của 10 học sinh lớp A như sau:10; 9; 5; 6; 1; 5; 7; 9; 5; 6.

Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

+) Điểm Toán được sắp xếp theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 9; 9; 10.

+) Khoảng biến thiên R = 10 – 1 = 9.

+) n = 10 = 2 . 5

Suy ra số trung vị mẫu $M_e=\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)=\frac{1}{2}\left(6+6\right)=6$.

+) Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e = 6;

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của 1; 5; 5; 5; 6. Do đó Q₁ = 5;

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của 6; 7; 9; 9; 10. Do đó Q₃ = 9.

Vậy khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 9 – 5 = 4.

Ví dụ 2.Khảo sát điểm giữa kỳ của sinh viên môn học Lý thuyết Galois được thống kê dưới bảng sau:

Điểm	0	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5	9	9,5	10
Số sinh viên	2	1	1	1	2	10	12	13	10	7	18

Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của bảng số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

Số liệu được viết lại như sau:

0; 0; 5,5; 6; 6,5; 7; 7; $\underset{10}{\underbrace{7,5;\mathrm{...};7,5}};\underset{12}{\underbrace{8;\mathrm{...};8}};\underset{13}{\underbrace{8,5;\mathrm{...};8,5}};\underset{10}{\underbrace{9;\mathrm{...};9}};\underset{7}{\underbrace{9,5;\mathrm{...};9,5}};\underset{18}{\underbrace{10;\mathrm{...};10}}$

+) Khoảng biến thiên R = 10 – 0 = 10.

Ta có: n = 77 = 2 . 38 + 1

+) Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e = x₃₉ = 8,5

+) Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là trung vị của

$0;0;5,5;6;6,5;7;7;\underset{10}{\underbrace{7,5;\mathrm{...};7,5}};\underset{12}{\underbrace{8;\mathrm{...};8}};\underset{9}{\underbrace{8,5;\mathrm{...};8,5}}$

Suy ra $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{19}+x_{20}\right)=\frac{1}{2}\left(8+8\right)=8$.

+) Tứ phân vị thứ ba Q₃ là trung vị của $\underset{3}{\underbrace{8,5;\mathrm{...};8,5}};\underset{10}{\underbrace{9;\mathrm{...};9}};\underset{7}{\underbrace{9,5;\mathrm{...};9,5}};\underset{18}{\underbrace{10;\mathrm{...};10}}$

Suy ra $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{19}+x_{20}\right)=\frac{1}{2}\left(9,5+9,5\right)=9,5$.

Vậy khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 9,5 – 8 = 1,5.

Ví dụ 3. Tìm các giá trị ngoại lệ trong Ví dụ 2.

Hướng dẫn giải:

+) Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e = x₃₉ = 8,5

+) Tứ phân vị thứ nhất $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{19}+x_{20}\right)=\frac{1}{2}\left(8+8\right)=8$.

+) Tứ phân vị thứ ba $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{19}+x_{20}\right)=\frac{1}{2}\left(9,5+9,5\right)=9,5$.

Khoảng tứ phân vị ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 9,5 – 8 = 1,5.

+) Ta có: Q₁ – 1,5∆_Q = 8 – 1,5.1,5 = 5,75

Q₃ + 1,5∆_Q = 9,5 + 1,5.1,5 = 11,75.

Vậy các giá trị ngoại lệ là 0; 5,5.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khảo sát nhiệt độ trung bình 5 tháng cuối năm 2019 tại Đà Nẵng ta được bảng số liệu sau.

Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Bài 2. Khảo sát nhiệt độ không khí trung bình tại Nam Định ta có được bảng số liệu như sau:

Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Bài 3. Tổng tỉ suất sinh năm 2019 tại một số tỉnh thành được thống kê trong bảng sau:

Tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Bài 4. Điểm thi môn Toán khối lớp 12 được thống kê lại như sau

Điểm	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	20	10	25	30	60	20	20	8	5	2

Tìm các giá trị ngoại lệ (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Bài 5. Một sản phẩm B bán trên Shopee có 86 lượt đánh giá được thể hiện trong bảng sau.

Tìm các giá trị ngoại lệ (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác

• Công thức xác định số quy tròn và số gần đúng với độ chính xác cho trước

• Công thức tính số trung bình và cách xác định mốt

• Công thức tính trung vị và tứ phân vị

• Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn

---