Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Ta có mẫu số liệu x₁, x₂, …, x_n.

+) Phương sai mẫu, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:

$S^2=\frac{1}{n}$[${\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2$]

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình mẫu.

+) Độ lệch chuẩn, kí hiệu S, là căn bậc hai của phương sai mẫu: $S=\sqrt{S^2}$.

Chú ý: Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành:

$S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\mathrm{...}+x_n^2\right)-{\overline{x}}^2$.

Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là ${\hat{s}}^2$, được tính bởi công thức:

${\hat{s}}^2=\frac{1}{n-1}$[${\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2$].

* Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Giá trị	x1	x2	…	xk
Tần số	n1	n2	…	nk

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

$S^2=\frac{1}{n}$[$n_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+n_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2$],

trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k.

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành

$S^2=\frac{1}{n}\left(n_1{x}_1^2+n_2{x}_2^2+\mathrm{...}+n_k{x}_k^2\right)-\overline{x}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Điểm Toán của 10 học sinh lớp A như sau:10; 9; 5; 6; 1; 5; 7; 9; 5; 6.

Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

+) Trung bình mẫu: $\overline{x}=\frac{1}{10}$(10+9+5+6+1+5+7+9+5+6) = 6,3

+) Phương sai mẫu:

$S^2=\frac{1}{10}$[${\left(10-6,3\right)}^2+2.{\left(9-6,3\right)}^2+{\left(7-6,3\right)}^2+2.{\left(6-6,3\right)}^2+3.{\left(5-6,3\right)}^2+{\left(1-6,3\right)}^2$]

Suy ra S² = 6,21.

+) Độ lệch chuẩn: S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{6,21}\approx 2,492$.

Ví dụ 2. Điều tra cân nặng (kg) của 10 sinh viên của một lớp học thu được số liệu sau:

59,0; 45,5; 52,7; 47,9; 40,7; 48,3; 52,1; 43,1; 55,2; 45,3.

Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

+) $\overline{x}=\frac{59,0+45,5+52,7+47,9+40,7+48,3+52,1+43,1+55,2+45,3}{10}$ = 48,98.

+) Phương sai mẫu:

$S^2=\frac{1}{10}$[${\left(59-48,98\right)}^2+{\left(45,5-48,98\right)}^2+{\left(52,7-48,98\right)}^2+{\left(47,9-48,98\right)}^2$

$+{\left(40,7-48,98\right)}^2+{\left(48,3-48,98\right)}^2+{\left(52,1-48,98\right)}^2+{\left(43,1-48,98\right)}^2$

$+{\left(55,2-48,98\right)}^2+{\left(45,3-48,98\right)}^2$]

⇒ S² = 29,3076.

+) Độ lệch chuẩn: S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{29,3076}\approx 5,4136$.

Ví dụ 3. Cho mẫu số liệu: 2,62; 3,12; 2,75; 3,5; 3,25; 2,86; 3,15; 3,37. Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

+) $\overline{x}=\frac{2,62+2,75+2,86+3,12+3,15+3,25+3,37+3,5}{8}=3,0775$.

+) Phương sai mẫu:

$S^2=\frac{1}{8}$[${\left(2,62-3,0775\right)}^2+{\left(2,75-3,0775\right)}^2+{\left(2,86-3,0775\right)}^2+{\left(3,12-3,0775\right)}^2$

$+{\left(3,15-3,0775\right)}^2+{\left(3,25-3,0775\right)}^2+{\left(3,37-3,0775\right)}^2+{\left(3,5-3,0775\right)}^2$]

⇒ S² ≈ 0,0831.

+) Độ lệch chuẩn: S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{0,0831}\approx 0,2883$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Điểm giữa kỳ của sinh viên trong một lớp học của một môn học được thống kê dưới bảng sau:

Điểm	0	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5	9	9,5	10
Số sinh viên	2	1	1	1	2	10	12	13	10	7	18

Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Bài 2. Khảo sát điểm (trừ môn GDTC và GDQP) năm học 2020 – 2021 của một sinh viên, ta thu được bảng số liệu sau:

Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Bài 3. Số huy chương vàng thể thao quốc tế của Việt Nam trong khu vực Châu Á được thể hiện trong bảng sau dữ liệu sau:

Hãy tính phương sai của bảng số liệu trên.

Bài 4. Khảo sát nhiệt độ không khí trung bình tại Nam Định ta có được bảng số liệu như sau:

Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Bài 5. Một sản phẩm B bán trên Shopee có 90 lượt đánh giá được thể hiện trong bản sau.

Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác

• Công thức xác định số quy tròn và số gần đúng với độ chính xác cho trước

• Công thức tính số trung bình và cách xác định mốt

• Công thức tính trung vị và tứ phân vị

• Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ

---