Công thức tính trung vị và tứ phân vị (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính trung vị và tứ phân vị chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính trung vị và tứ phân vị từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …., x_n.

a) Công thức tính trung vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Trung vị mẫu, kí hiệu là M_e là giá trị ở chính giữa dãy x₁, x₂, …, x_n. Cụ thể:

Nếu n = 2k + 1, $k\in \mathbb{N}$ thì trung vị của mẫu M_e = x_k+1;

Nếu n = 2k, $k\in \mathbb{N}$ thì trung vị của mẫu M_e = $\frac{1}{2}\left(x_k+x_{k+1}\right)$.

b) Công thức tính tứ phân vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là Q₁, Q₂, Q₃). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể:

+) Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q₂, chính là số trung vị mẫu;

+) Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q₁, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

+) Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q₃, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Điểm Toán của 10 học sinh lớp A như sau:10; 9; 5; 6; 1; 5; 7; 9; 5; 6.

Tính số trung vị và tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

+) Điểm Toán được sắp xếp theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 9; 9; 10.

+) n = 10 = 2 . 5

Suy ra số trung vị mẫu $M_e=\frac{1}{2}\left(x_5+x_6\right)=\frac{1}{2}\left(6+6\right)=6$.

+) Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e = 6;

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của 1; 5; 5; 5; 6. Do đó Q₁ = 5;

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của 6; 7; 9; 9; 10. Do đó Q₃ = 9.

Ví dụ 2. Cho mẫu số liệu: 2,62; 3,12; 2,75; 3,5; 3,25; 2,86; 3,15; 3,37. Tính trung vị của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

Mẫu số liệu được sắp xếp theo chiều tăng dần: 2,62 < 2,75 < 2,86 < 3,12 < 3,15 < 3,25 < 3,37 < 3,5.

Có n = 8 = 2 . 4

Suy ra số trung vị mẫu $M_e=\frac{1}{2}\left(x_4+x_5\right)=\frac{1}{2}\left(3,12+3,15\right)=3,135$.

Ví dụ 3.Khảo sát điểm giữa kỳ của sinh viên môn học Lý thuyết Galois được thống kê dưới bảng sau:

Điểm	0	5,5	6	6,5	7	7,5	8	8,5	9	9,5	10
Số sinh viên	2	1	1	1	2	10	12	13	10	7	18

Tìm tứ phân vị của bảng số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

Số liệu được viết lại như sau:

0; 0; 5,5; 6; 6,5; 6; 7; $\underset{10}{\underbrace{7,5;\mathrm{...};7,5}};\underset{12}{\underbrace{8;\mathrm{...};8}};\underset{13}{\underbrace{8,5;\mathrm{...};8,5}};\underset{10}{\underbrace{9;\mathrm{...};9}};\underset{7}{\underbrace{9,5;\mathrm{...};9,5}};\underset{18}{\underbrace{10;\mathrm{...};10}}$

Ta có: n = 77 = 2 . 38 + 1

+) Tứ phân vị thứ hai Q₂ = M_e = x₃₉ = 8,5.

+) Tứ phân vị thứ nhất Q₁ là trung vị của

$0;0;5,5;6;6,5;7;7;\underset{10}{\underbrace{7,5;\mathrm{...};7,5}};\underset{12}{\underbrace{8;\mathrm{...};8}};\underset{9}{\underbrace{8,5;\mathrm{...};8,5}}$

Suy ra $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{19}+x_{20}\right)=\frac{1}{2}\left(8+8\right)=8$.

+) Tứ phân vị thứ ba Q₃ là trung vị của $\underset{3}{\underbrace{8,5;\mathrm{...};8,5}};\underset{10}{\underbrace{9;\mathrm{...};9}};\underset{7}{\underbrace{9,5;\mathrm{...};9,5}};\underset{18}{\underbrace{10;\mathrm{...};10}}$

Suy ra $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{19}+x_{20}\right)=\frac{1}{2}\left(9,5+9,5\right)=9,5$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khảo sát nhiệt độ trung bình 5 tháng cuối năm 2019 tại Đà Nẵng ta được bảng số liệu sau.

Tính trung vị mẫu của bảng số liệu trên.

Bài 2. Khảo sát số tín chỉ của các môn học trong một năm học của một sinh viên khoa T (trừ môn GDTC và GDQP), ta có được bảng sau:

Tính số trung vị mẫu của bảng số liệu trên.

Bài 3. Năng suất lúa (tạ/ha) đông xuân năm 2019 của các tỉnh đồng bằng sông Cửu Long được thống kê lại như sau:

Tính tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Bài 4. Khảo sát nhiệt độ không khí trung bình tại Nam Định ta có được bảng số liệu như sau:

Tính tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Bài 5. Điểm thi môn Toán khối lớp 12 được thống kê lại như sau

Điểm	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Số học sinh	20	10	25	30	60	20	20	8	5	2

Tính tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác

• Công thức xác định số quy tròn và số gần đúng với độ chính xác cho trước

• Công thức tính số trung bình và cách xác định mốt

• Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ

• Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn

---