Công thức tính độ dài vectơ (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính độ dài vectơ chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính độ dài vectơ từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là độ dài đoạn thẳng AB.

- Kí hiệu: |$\overrightarrow{AB}$|

Hay ta có: |$\overrightarrow{AB}$| = AB.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác cân ABC tại A có đường cao AH. Biết BC = 6, $\widehat{ABC}=30°$, hãy tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH},\overrightarrow{CH}$.

Hướng dẫn giải:

+) Tam giác ABC cân tại A có AH là đường cao nên AH cũng là trung tuyến, do đó H là trung điểm của BC.

Suy ra: CH = $\frac{1}{2}$BC = 3

Do đó: |$\overrightarrow{CH}$|= CH = 3.

+) Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=30°$

Trong tam giác vuông AHC, có: AH = CH . tan30° = $3.\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$.

Suy ra |$\overrightarrow{AH}$| = AH = $\sqrt{3}$.

+) $AC=\frac{CH}{\cos 30°}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$suy ra |$\overrightarrow{AC}$| = AC = 2$\sqrt{3}$.

Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OD}$theo a.

Hướng dẫn giải:

+) ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Nên tam giác ABD cân tại A có $\widehat{BAD}=60°$suy ra tam giác ABD đều.

Suy ra AB = AD = BD = a.

Suy ra |$\overrightarrow{BD}$|= BD = a.

Suy ra |$\overrightarrow{OD}$| = OD = $\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}$(do O là tâm hình thoi nên O là trung điểm của BD và AC).

+) Tam giác AOD vuông tại O (trong hình thoi, hai đường chéo vuông góc với nhau)

Suy ra |$\overrightarrow{OA}$| = $OA=\sqrt{A{D}^2-O{D}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.

Do đó, |$\overrightarrow{AC}$|= AC = 2.OA = a$\sqrt{3}$.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có $\hat{A}=85°$, AB = 15 cm và AC = 7 cm. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải:

Theo định lí côsin trong tam giác ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cosA

= 15² + 7² – 2.15.7.cos85°

≈ 255,7

Vậy |$\overrightarrow{BC}$|= BC ≈ 16 (cm).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC, có $\hat{C}=125°$, AC = 8 và BC = 16. Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Bài 2. Cho tam giác đều MNE cạnh 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác, hãy tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{GA},\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC}$.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và BM. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{BM},\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NP}$.

Bài 4. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$trong hình vẽ sau:

Bài 5. Cho tam giác ABC, có $\hat{A}=62°$, $\hat{B}=85°$và BC = 24. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{OA}$với O là tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức, tính chất về tổng và hiệu hai vectơ

• Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành

• Công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác

• Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ

• Điều kiện hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng

---