Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

- BC = a, CA = b, AB = c;

- R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

- r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

- p là nửa chu vi tam giác.

- S là diện tích tam giác.

Khi đó:

- Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là:

$r=\frac{S}{p}$.

- Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là:

$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{b}{2\sin B}=\frac{c}{2\sin C}=\frac{abc}{4S}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có a = 2$\sqrt{5}$, b = 5 và $\hat{C}=30°$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

c² = a² + b² – 2a.b.cosC = 20 + 25 – $2.2\sqrt{5}\mathrm{.5.}\frac{\sqrt{3}}{2}$≈ 6,27

Suy ra c ≈ 2,5.

Áp dụng định lí sin, ta suy ra: $R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{2,5}{2.\sin 30°}=\frac{2,5}{2.\frac{1}{2}}=2,5$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = 2,5.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có các cạnh a = 300, b = 270, c = 180. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có nửa chu vi tam giác ABC là: p = $\frac{1}{2}$(300+27+180) = 375.

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}=\sqrt{375.\left(375-300\right).\left(375-270\right).\left(375-180\right)}=23997,07$.

+) Ta lại có: $S=\frac{abc}{4R}$, suy ra $R=\frac{abc}{4S}=\frac{\mathrm{300.270.180}}{4.23997,07}\approx 151,9$.

và S = pr ⇒ $r=\frac{S}{p}=\frac{23997,07}{375}\approx 64$.

Ví dụ 3. Tam giác MNE có ME = 10, $\hat{M}=35°,\hat{E}=85°$. Gọi $R=\frac{a\sqrt{3}}{b}$là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNE. Tính S = 2a + b.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: $\hat{N}=180°-\left(\hat{M}+\hat{E}\right)$ = 180° – (35° + 85°) = 60° (áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác MNE).

+) Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{NE}{\sin M}=\frac{ME}{\sin N}=\frac{MN}{\sin E}=2R$.

Suy ra $R=\frac{ME}{2\sin N}=\frac{10}{2.\sin 60°}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra a = 10, b = 3.

Vậy S = 2.10 + 3 = 23.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh b = 16, c = 18 và $\hat{A}=60°$.

b) Các cạnh a = 8, b = 5, c = 9.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 36, AC = 28 và $\hat{A}=120°$. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Bài 3. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 8, 17.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác GBC.

Bài 4. Tam giác MNE có ME = 15cm, $\hat{M}=70°,\hat{E}=80°$. Hãy tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MNE.

Bài 5. Cho tam giác ABC cân tại A có $\hat{A}=150°$và AB = 12cm. Gọi $R=a\sqrt{2}+b\sqrt{6}$là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tính $T=\sqrt{2ab}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính độ dài vectơ

• Công thức, tính chất về tổng và hiệu hai vectơ

• Quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành

• Công thức trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác

• Các công thức, tính chất về tích của một số với một vectơ

---