Các công thức lượng giác cơ bản (hay, chi tiết)

Bài viết Các công thức lượng giác cơ bản chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Các công thức lượng giác cơ bản từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức 

Cho góc α (0° ≤ α ≤ 180°), ta có các công thức lượng giác cơ bản sau:

(1) cos²α + sin²α = 1;

(2) tanα.cotα = 1; với 0° < α < 180°, α ≠ 90°;

(3) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$với α ≠ 90°;

(4) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$với 0° < α < 180°.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Tính

a) cosα, biết $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$và α là góc nhọn.

b) tanα, biết $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$, 0° < α < 180°.

 Hướng dẫn giải:

a) Ta có: cos²α + sin²α = 1

⇒ ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{2}{3}$

Vì α là góc nhọn nên cosα > 0

$\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.

b)

+) Ta có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

⇒ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\left(\frac{-1}{3}\right)}^2}$

⇒tan²α = 9 – 1 = 8

⇒ $\tan \alpha =\pm 2\sqrt{2}$

Mà $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$suy ra α là góc tù

Vậy $\tan \alpha =-2\sqrt{2}$.

Ví dụ 2.Cho $\sin \alpha =\frac{1}{5}$, với α là góc tù, hãy tính A = 6tanα – 5cosα.

Hướng dẫn giải:

+) Ta có: cos²α + sin²α = 1

⇒ ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}$.

Vì α là góc tù nên cosα < 0

$\Rightarrow \cos \alpha =-\sqrt{\frac{24}{25}}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}$.

+) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{-2\sqrt{6}}{5}}=\frac{-\sqrt{6}}{12}$.

Vậy A = 6tanα – 5cosα = $6.\frac{-\sqrt{6}}{12}-5.\frac{-2\sqrt{6}}{5}=\frac{3\sqrt{6}}{2}$.

Ví dụ 3.Cho tanα = 2, 0° < α < 180°. Tính $A=\frac{\sin \alpha +3\cos \alpha }{\cos \alpha +\cot \alpha }$.

Hướng dẫn giải:

 +) Vì tanα = 2 suy ra cosα ≠ 0, ta có:

$A=\frac{\sin \alpha +3\cos \alpha }{\cos \alpha +\cot \alpha }=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+3\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha .\cos \alpha }}$(chia cả tử và mẫu cho cosα).

⇒ $A=\frac{\tan \alpha +3}{1+\frac{1}{\sin \alpha }}$.

+) Ta có: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{2}$

Lại có: $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

⇔ $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

⇔ $\frac{1}{\sin \alpha }=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$

Suy ra $\frac{1}{\sin \alpha }=\frac{\sqrt{5}}{2}$  (do 0° < α < 180° nên sinα > 0).

Vậy $A=\frac{\tan \alpha +3}{1+\frac{1}{\sin \alpha }}=\frac{2+3}{1+\frac{\sqrt{5}}{2}}=-20+10\sqrt{5}$.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60°. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc ABD.

Bài 2. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}$và $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$;

b) $\sin \alpha =\frac{4}{5}$và $\cos \alpha =-\frac{3}{5}$;

c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3.

Bài 3. Cho $\cos \alpha =\frac{1}{4}$. Tính A = sinα + 3tanα.

Bài 4. Tính

a) sinα, nếu $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

b) cosα, nếu $\tan \alpha =2\sqrt{2}$;

c) tanα, nếu $\sin \alpha =\frac{2}{3}$;

d) cotα, nếu $\cos \alpha =-\frac{1}{4}$.

Bài 5. Cho tanα = – 3, 0° < α < 180°. Tính $A=\frac{5\sin \alpha -10\cos \alpha }{\tan \alpha +3\cot \alpha }$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Định lí côsin và hệ quả

• Định lí sin và hệ quả

• Các công thức tính diện tích tam giác

• Công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

• Công thức tính độ dài vectơ

---