Công thức tính góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng lớp 10 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng lớp 10 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

- Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}(x;y)$ và $\overrightarrow{v}(x\text{'};y\text{'})$ $(\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0})$. Khi đó, góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ được xác định thông qua công thức:

- Cho hai đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a;b)$ và $\overrightarrow{n_1}(a_1;b_1)$ tương ứng. Khi đó, góc φ giữa hai đường thẳng đó được xác định thông qua công thức:

- Chú ý:

+ Góc giữa hai vectơ cùng chiều bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược chiều bằng 180°.

+ Góc giữa hai vectơ vuông góc bằng 90°.

+ Góc giữa hai đường thẳng lớn hơn bằng 0° và nhỏ hơn bằng 90°.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $\overrightarrow{u}(2;1)$, $\overrightarrow{v}(0;-4)$ và $\overrightarrow{w}(-1;-1)$. Tính góc giữa hai vectơ:

a) $\overrightarrow{u}và\overrightarrow{v}$.

b) $\overrightarrow{u}và\overrightarrow{w}$.

c) $\overrightarrow{v}và\overrightarrow{w}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Suy ra $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\approx 116°$.

b) Ta có

Suy ra $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\right)\approx 161°$.

c) Ta có:

Suy ra $\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}\right)\approx 45°$.

Ví dụ 2. Tính góc giữa hai đường thẳng:

a) d: x + y – 4 = 0 và d₁: 3x – 2y + 8 = 0.

b) d: x – 1 = 0 và d₁: 2x + y = 0.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và d₁.

Ta có $\overrightarrow{n_d}(1;1)$ và $\overrightarrow{n_{d_1}}(3;-2)$.

Suy ra φ ≈ 78°.

b) Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và d₁.

Ta có $\overrightarrow{n_d}(1;0)$ và $\overrightarrow{n_{d_1}}(2;1)$.

Suy ra φ ≈ 26°.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}(0;1)$ và $\overrightarrow{v}(-5;0)$.

Bài 2. Tính góc giữa hai đường thẳng d: 5x – 4y + 20 = 0 và $d_1:\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=2$.

Bài 3. Tính sin góc giữa hai đường thẳng d: x – y = 0 và d₁: 9x + 2y – 14 = 0.

Bài 4. Tính tan góc giữa hai đường thẳng $d:\frac{2x}{5}+\frac{3y}{3}=1$ và d₁: 2y = 6x + 5.

Bài 5. Cho hai đường thẳng d: x + y – 10 = 0 và d₁: 4x + my + 70 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng bằng 45°.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

• Công thức xác định tâm, bán kính của đường tròn

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ và tiêu cự của Elip

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, độ dài trục thực, độ dài trục ảo và tiêu cự của Hypebol

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tham số tiêu và phương trình đường chuẩn của Parabol

---