Công thức xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 10 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 10 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Cho hai đường thẳng d: ax + by + c = 0 và d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0.

Xét hệ phương trình:

+ d cắt d₁ tại M(x₀; y₀) ⇔ Hệ (*) có nghiệm duy nhất (x₀; y₀).

+ d song song d₁ ⇔ Hệ (*) vô nghiệm.

+ d trùng d₁ ⇔ Hệ (*) có vô số nghiệm.

- Chú ý: Dựa vào các vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u_1}$ các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{n_1}$ của d và d₁

+ d và d₁ song song hoặc trùng nhau ⇔ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u_1}$ cùng phương ⇔ $\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{n_1}$ cùng phương.

+ d và d₁ cắt nhau ⇔ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u_1}$ không cùng phương ⇔ $\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{n_1}$ không cùng phương.

+ d và d₁ vuông góc ⇔ $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{u_1}$ vuông góc ⇔ $\overrightarrow{n}$, $\overrightarrow{n_1}$ vuông góc ⇔ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u_1}=0$ ⇔ $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_1}=0$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: 7x – y + 9 = 0 với các đường thẳng sau:

a) d₁: 2x + 5y = 0.

b) d₂: –14x + 2y – 18 = 0.

Hướng dẫn giải:

a) Xét hệ phương trình

Vậy đường thẳng d cắt d₁ tại điểm $M\left(\frac{-45}{37};\frac{18}{37}\right)$.

b) Vì –14x + 2y – 18 = 0 ⇔ –2(7x – y + 9) = 0 ⇔ 7x – y + 9 = 0.

Vậy d và d₂ là một, tức d và d₂ trùng nhau.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

a) d: –3x + y – 6 = 0 và $d_1:\frac{x}{2}-\frac{y}{6}=3$.

b)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $d_1:\frac{x}{2}-\frac{y}{6}=3$ ⇔ 3x – y – 18 = 0.

Ta có $\overrightarrow{n_d}=(-3;1)$, $\overrightarrow{n_{d_1}}=(3;-1)$.

Suy ra $\overrightarrow{n_d}$ và $\overrightarrow{n_{d_1}}$ cùng phương $\left(vì\frac{-3}{3}=\frac{1}{-1}\right)$.

Suy ra d và d₁ song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác điểm (0; 6) thuộc d nhưng không thuộc d₁.

Vậy d và d₁ song song với nhau.

b) Ta có $\overrightarrow{u_d}=(2;-1)$; $\overrightarrow{u_{d_1}}=(5;3)$.

Suy ra $\overrightarrow{u_d}$ và $\overrightarrow{u_{d_1}}$ không cùng phương vì $\overrightarrow{u_d}=(2;-1)$; $\overrightarrow{u_{d_1}}=(5;3)$.

Mặt khác 2 ⋅ 5 – 1 ⋅ 3 = 7 ≠ 0.

Nên d và d₁ cắt nhau.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

d: 5x + 2y + 10 = 0 và d₁: 4x – 9y + 13 = 0.

Bài 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

Bài 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

d: 2x + 3y + 11 = 0 và .

Bài 4. Cho đường thẳng d: 7x + y – 20 = 0 và . Tìm m để d và d₁ cắt nhau.

Bài 5. Cho 4 điểm A(0; 1), B(–2; –3), C(4; 1), D(–5; 0). Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng AB và CD.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

• Công thức xác định tâm, bán kính của đường tròn

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ và tiêu cự của Elip

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, độ dài trục thực, độ dài trục ảo và tiêu cự của Hypebol

---