Công thức điều kiện để hai vectơ vuông góc, cùng phương lớp 10 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức về điều kiện để hai vectơ vuông góc, cùng phương lớp 10 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức liên quan đến tọa độ về điều kiện để hai vectơ vuông góc, cùng phương từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $\overrightarrow{u}(x;y)$ và $\overrightarrow{v}(x\text{'};y\text{'})$.

+ Vectơ $\overrightarrow{v}(x\text{'};y\text{'})$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}(x;y)$ khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho:

x' = kx, y' = ky hay $\frac{x\text{'}}{x}=\frac{y\text{'}}{y}$ nếu xy ≠ 0.

+ Vectơ $\overrightarrow{v}(x\text{'};y\text{'})$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{u}(x;y)$ khi và chỉ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$ $\iff x.x\text{'}+y.y\text{'}=0$.

- Chú ý:

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{v}$ cùng phương với $\overrightarrow{w}$ thì $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{w}$.

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ cùng phương với $\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{w}$ thì $\overrightarrow{v}$ vuông góc với $\overrightarrow{w}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

a) Cho $\overrightarrow{a}=(-1;2)$, $\overrightarrow{b}=(5;10)$. Hỏi $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có cùng phương hay không?

b) Cho $\overrightarrow{a}=(\frac{2}{3};3)$, $\overrightarrow{b}=(-2;-9)$. Hỏi $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có cùng phương hay không?

c) Cho ba điểm A(1; 4), B(–2; 0) và C(2; –2). Hãy cho biết ba điểm A, B, C có thẳng hàng không?

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\frac{-1}{5}\ne \frac{2}{10}$ nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

b) Ta có $\frac{\frac{2}{3}}{-2}=\frac{3}{-9}\left(=\frac{-1}{3}\right)$ nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

c) Ta có $\overrightarrow{AC}=(1;-6)$ và $\overrightarrow{AB}=(-3;-4)$.

$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương vì $\frac{1}{-3}\ne \frac{-6}{-4}$.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Ví dụ 2.

a) Cho $\overrightarrow{a}=(2;7)$, $\overrightarrow{b}=(-14;4)$. Hỏi $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có vuông góc với nhau không? Vì sao?

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{a}=(4;5)$ và $\overrightarrow{b}=(-2;\frac{8}{5})$ vuông góc với nhau.

c) Cho $\overrightarrow{a}=(1;2)$, $\overrightarrow{b}=(-2;5)$ và $\overrightarrow{c}=\left(10;-5\right)$, hãy chỉ ra các cặp vectơ vuông góc, cùng phương với nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 2 ⋅ (–14) + 7 ⋅ 4 = –28 + 28 = 0 nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

b) Ta có $4.(-2)+5.\frac{8}{5}=-8+8=0$.

Vậy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

c) Ta có 1 ⋅ 10 + 2 ⋅ (–5) = 10 – 10 = 0 nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ vuông góc với nhau.

Ta có $\frac{1}{-2}\ne \frac{2}{5}$ nên $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương.

Suy ra $\overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{c}$ không vuông góc với nhau.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $\overrightarrow{a}=(4;-9)$, $\overrightarrow{b}=(2;m)$. Tìm m để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Bài 2. Cho $\overrightarrow{u}=(0;8)$, $\overrightarrow{v}=(m;n)$. Tìm n để $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau.

Bài 3. Cho $\overrightarrow{a}=(5;10)$, $\overrightarrow{v}=(-1;-2)$, $\overrightarrow{h}=(6;-3)$ và $\overrightarrow{l}=(3;-6)$. Chỉ ra các cặp vectơ cùng phương hoặc vuông góc với nhau.

Bài 4. Cho $\overrightarrow{a}=(n;2)$, $\overrightarrow{b}=(1;m)$. Biết m, n là các số nguyên, tìm tất cả các giá trị của n và m để $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

Bài 5. Cho $\overrightarrow{u}=(1;3)$, $\overrightarrow{v}=(m;n)$. Biết $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau và m = 2 – n, tìm m và n.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính độ dài của vectơ thông qua tọa độ của vectơ đó

• Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ thông qua tọa độ của vectơ đó

• Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng

• Công thức xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng

---