Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức Học kì 2 (hay, chi tiết)

Trang trước Trang sau

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Học kì 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết bám sát theo nội dung từng bài học trong sgk Toán 8 Tập 2 sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức Học kì 1

Phân thức đại số lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

Lý thuyết Phân thức đại số

1. Phân thức đại số

• Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$ , trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

• A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Nhận xét: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, số 0 và số 1 cũng là những phần thức đại số.

Ví dụ 1. Chỉ ra các phân thức trong các biểu thức sau:

$\frac{x + 1}{x - 1}; \frac{x y z}{x^{2} + y - z^{3}}; \frac{\sqrt{2 x}}{y};$ $\sqrt{3} + x; x^{5} + 2 x^{2} - 3.$

Hướng dẫn giải

Trong các biểu thức trên có $\frac{x + 1}{x - 1}; \frac{x y z}{x^{2} + y - z^{3}};$ $\sqrt{3} + x; x^{5} + 2 x^{2} - 3$ là phân thức.

Biểu thức $\frac{\sqrt{2 x}}{y}$ không phải là phân thức vì $\sqrt{2 x}$ không phải là đa thức.

• Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.

Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (thỏa mãn điều kiện xác định), ta nhận được một biểu thức số. Giá trị của biểu thức này được gọi là giá trị của phân thức đại số tại các giá trị đã cho của biến.

Ví dụ 2. Cho các phân thức $A = \frac{3 x^{2} + 1}{x - 1}$ và $B = \frac{x + y}{x - y}$

a) Viết điều kiện xác định của phân thức A và B.

b) Tính giá trị của phân thức A tại x = 0.

c) Tính giá trị của phân thức B tại x = 0, y = 1 và tại x = –2 và y = –2.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức A là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Điều kiện xác định của phân thức B là x – y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x – y ≠ 0).

b) Khi x = 0 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta có $A = \frac{{3.0}^{2} + 1}{0 - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1.$

c) Khi x = 0 và y = 1 thì x – y = –1 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện xác định, ta có: $B = \frac{0 + 1}{- 1} = - 1.$

Khi x = –2 và y = –2 thì x – y = 0 nên điều kiện xác định không được thỏa mãn.

Vậy giá trị của phân thức B tại x = –2 và y = –2 không xác định.

Ví dụ 3. Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức sau:

a) $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ ;

b) $\frac{5 x - 1}{x - 2 y}$ .

Hướng dẫn giải

a) Phân thức $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ xác định khi x² – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1 và x ≠ – 1.

b) Phân thức $\frac{5 x - 1}{x - 2 y}$ xác định khi x – 2y ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn x – 2y ≠ 0).

2. Hai phân thức bằng nhau

Ta nói hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau nếu AD = BC. Ta viết:

$\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu AD = BC.

Ví dụ 4. Hai phân thức $X = \frac{a}{2 a + 1}$ và $Y = \frac{2 a^{2} - a}{4 a^{2} - 1}$ có bằng nhau không? Tại sao?

Hướng dẫn giải

Ta có:

• a.(4a² – 1) = 4a³ – a;

• (2a + 1).(2a² – a) = 2a(2a² – a) + 1(2a² – a) = 4a³ – 2a² + 2a² – a = 4a³ – a.

Do đó a . (4a² – 1) = (2a + 1) . (2a² – a)

Vậy $\frac{a}{2 a + 1} = \frac{2 a^{2} - a}{4 a^{2} - 1}$ , hay X = Y.

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

• Khi thay các biến trong một phân thức đại số bằng các số, ta được một biểu thức số (nếu mẫu số nhận được là số khác 0). Giá trị của biểu thức số đó gọi là giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho của biến.

Ví dụ 5. Tính giá trị của phân thức $\frac{2 x}{x - 1}$ với điều kiện x – 1 ≠ 0 tại x = 2.

Thay x = 2 vào phân thức $\frac{2 x}{x - 1}$ ta được: $\frac{2.2}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4$

• Điều kiện xác định của phân thức của biến để giá trị của mẫu thức B khác 0.

Ví dụ 6. Điều kiện của phân thức $\frac{2 x}{x - 1}$ là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1 .

Chú ý: Ta chỉ cần quan tâm đến điều kiện xác định khi tính giá trị của phân thức.

Bài tập Phân thức đại số

Bài 1. Trong các biểu thức sau biểu thức nào là phân thức?

$\frac{\sqrt{x} - 2}{2 x + 3}; \frac{x + y}{x - y};$ $3 x^{2} - x + 5.$

Hướng dẫn giải

Trong các biểu thức trên có $\frac{x + y}{x - y}; 3 x^{2} - x + 5$ là phân thức.

Biểu thức $\frac{\sqrt{x} - 2}{2 x + 3}$ không phải là phân thức vì $\sqrt{x}$ không phải là đa thức.

Bài 2. Tìm giá trị của phân thức:

a) $A = \frac{2 x - y}{4 x^{2} - y^{2}}$ tại x = 5, y = 2;

b) $B = \frac{6 x^{2} + 12 x + 6}{x + 1}$ tại x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức A là 4x² – y² ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn 4x² – y² ≠ 0)

Ta có: $A = \frac{2 x - y}{4 x^{2} - y^{2}} = \frac{2 x - y}{{(2 x)}^{2} - y^{2}}$ $= \frac{2 x - y}{(2 x - y) (2 x + y)} = \frac{1}{2 x + y}$

Khi x = 5, y = 2 thì 4x² – y² = 96 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện xác định nên ta có:

$A = \frac{1}{2 \cdot 5 + 2} = \frac{1}{12} .$

b) Điều kiện xác định của phân thức B là x + 1 ≠ 0 hay x ≠ – 1.

Ta có: $B = \frac{6 x^{2} + 12 x + 6}{x + 1} = \frac{6 (x^{2} + 2 x + 1)}{x + 1}$ $= \frac{6 {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$ $= 6 (x + 1)$

Khi x = 3 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta có:

B = 6 . (3 + 1) = 6 . 4 = 24.

Bài 3. Viết điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau:

a) x² + 3y – 1;

b) $\frac{2 x + 7}{5 x - 15}$ ;

c) $\frac{7 x}{y^{2} + 4}$ ;

d) $\frac{x + y}{x - y}$ .

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức x² + 3y – 1 xác định với mọi giá trị của x.

b) Phân thức $\frac{2 x + 7}{5 x - 15}$ xác định khi 5x – 15 ≠ 0 hay x ≠ 3.

c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{7 x}{y^{2} + 4}$ là: y² + 4 ≠ 0 (luôn đúng vì y² + 4 > 0 với mọi y).

Do đó, phân thức $\frac{7 x}{y^{2} + 4}$ xác định với mọi giá trị của y.

c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x - 1}{x + 1}$ là: x + 1 ≠ 0 hay x ≠ −1.

d) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x + y}{x - y}$ là x – y ≠ 0 hay x ≠ y.

................................

Xem thêm đề thi lớp 8 các môn học có đáp án hay khác:

Tài liệu giáo án lớp 8 các môn học chuẩn khác:

Xem online sách lớp 8 mới

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác