Phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

Trang trước Trang sau

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình một ẩn

• Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

Ví dụ 1.

5x – 1 = 2x là phương trình bậc nhất với ẩn x;

3(y – 1) + 4 = y – 6 là phương trình bậc nhất với ẩn y.

• Số x₀ gọi là nghiệm của phương trình A(x) = B(x) nếu tại x₀ bằng nhau.

Giải một phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ 2. Cho phương trình 3x – 7 = 3 – 2x. Kiểm tra xem x = –1 và x = 2 có là nghiệm của phương trình đã cho không?

Hướng dẫn giải:

• Với x = –1, thay vào hai vế của phương trình ta có: 3 . (–1) – 7 ≠ 3 – 2. (–1).

Do đó, x = –1 không là nghiệm của phương trình đã cho.

• Với x = 2, thay vào hai vế của phương trình ta có: 3 . 2 – 7 ≠ 3 – 2 . 2 (đều bằng –1).

Do đó, x = –1 không là nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý: Tập tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường kí hiệu là S.

2. Phương trình một ẩn một ẩn và cách giải

Phương trình dạng ax + b = 0,với a, b là hai số đã cho và a ≠ 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x.

Ví dụ 3. Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất và hệ số trong các phương trình sau:

1 + x = 0;

x + x² = 0;

1 – 2x = 0;

3x = 0;

0x – 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

− Phương trình 1 + x = 0 là phương trình bậc nhất với a = 1; b = 1.

− Phương trình x + x² không phải phương trình bậc nhất vì có chứa x² bậc hai.

− Phương trình 1 – 2x = 0 là phương trình bậc nhất ẩn t với a = –2 và b = 1.

− Phương trình 3x = 0 là phương trình bậc nhất ẩn y với a = 3 và b = 0.

− Phương trình 0x – 3 = 0 không phải phương trình bậc nhất vì hệ số bậc nhất a = 0.

* Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn:

• Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) được giải như sau:

ax + b = 0

ax = −b.

$x = \frac{- b}{a} .$

• Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) luôn có một nghiệm duy nhất $x = \frac{- b}{a}$ .

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

a) 5x – 1 = 0;

b) $\frac{1}{2} x + 5 = 0 .$

Hướng dẫn giải:

a) 5x – 1 = 0

5x = 1

x = 1 : 5

$x = \frac{1}{5} .$

Vậy nghiệm phương trình là $x = \frac{1}{5} .$

b) $\frac{1}{2} x + 5 = 0$

$\frac{1}{2} x = - 5$

$x = (- 5) : \frac{1}{2}$

x = –10.

Vậy nghiệm phương trình là x = –10.

3. Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

Bằng cách chuyển vế và nhân cả hai vế của phương trình với một số khác 0, ta có thể đưa chúng về phương trình ẩn x về phương trình dạng ax + b = 0 và do đó có thể giải được chúng.

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

a) 5 – (6 – x) = 4(3 – 2x);

b) 4(x – 4) = –7x + 17.

Hướng dẫn giải:

a) 5 – (6 – x) = 4(3 – 2x)

5 – 6 + x = 12 – 8x

x + 8x = 12 – 5 + 6

9x = 13

$x = \frac{13}{9} .$

Vậy nghiệm phương trình là $x = \frac{13}{9} .$

b) 4(x – 4) = –7x + 17

4x – 16 = –7x + 17

4x + 7x = 17 + 16

11x = 33

x = 3

Vậy nghiệm phương trình là x = 3.

Bài tập Phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) 5 – (2 – x) = 4(3 – 2x);

b) $\frac{x}{3} - \frac{5 x}{6} - \frac{15 x}{12} = \frac{x}{4} - 5;$

c) $\frac{2 (x + 5)}{3} + \frac{x - 12}{2} - \frac{5 (x - 2)}{6}$ $= \frac{x}{3} + 11 .$

Hướng dẫn giải

a) 5 – (2 – x) = 4(3 – 2x)

5 – 2 + x = 12 – 8x

x + 8x = 12 – 3

9x = 9

x = 1.

Vậy nghiệm phương trình là x = 1.

b) $\frac{x}{3} - \frac{5 x}{6} - \frac{15 x}{12} = \frac{x}{4} - 5$

$\frac{4 x}{12} - \frac{10 x}{12} - \frac{15 x}{12} = \frac{3 x}{12} - \frac{60}{12}$

4x – 10x – 15x = 3x – 60

3x – 4x + 10x + 15x = 60

24x = 60

$x = \frac{5}{2} .$

Vậy nghiệm phương trình là $x = \frac{5}{2} .$

c) $\frac{2 (x + 5)}{3} + \frac{x - 12}{2} - \frac{5 (x - 2)}{6}$ $= \frac{x}{3} + 11$

4(x + 5) + 3(x + 12) – 5(x – 2) = 2x + 66

4x + 20 + 3x + 36 – 5x + 10 = 2x + 66

2x + 66= 2x + 66

0x = 0 (thỏa mãn mọi giá trị của x)

Vậy phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Bài 2. Cho $A = \frac{4 x + 3}{5} - \frac{6 x - 2}{7}$ và $B = \frac{5 x + 4}{3} + 3$ . Tính giá trị của x để A = B.

Hướng dẫn giải:

Để A = B thì $\frac{4 x + 3}{5} - \frac{6 x - 2}{7} = \frac{5 x + 4}{3} + 3$

$\frac{21 (4 x + 3) - 15 (6 x - 2)}{105}$ $= \frac{35 (5 x + 4) + 3 \cdot 105}{105}$

21(4x + 3) – 15(6x – 2) = 35(5x + 4) + 3 . 105

84x + 63 – 90x + 30 = 175x + 455

84x – 90x – 175x = 455 – 30 – 63

–181x = 362

x = –2.

Vậy để A = B thì x = –2.

Ví dụ 3. An và Minh gặp nhau tại một hội sách. An mua 3 cuốn truyện Conan và 1 cuốn tiểu thuyết giá 120 nghìn đồng, Minh mua 5 cuốn truyện Conan và 1 cuốn tiểu thuyết giá 80 nghìn đồng. Biết số tiền phải trả của 2 bạn bằng nhau.

a) Gọi x (nghìn đồng) là giá tiền của mỗi cuốn truyện Conan. Viết phương trình biểu thịtổng số tiền hai bạn An và Minh phải trả là bằng nhau.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tìm giá tiền mỗi cuốn truyện Conan.

Hướng dẫn giải:

a) Số tiền An phải trả là 3x + 120 (nghìn đồng).

Số tiền Minh phải trả là 5x + 80 (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có phương trình biểu diễn tương ứng số tiền của 2 bạn là

3x + 120 = 5x + 80.

b) Ta có phương trình:

3x + 120 = 5x + 80

5x – 3x = 120 – 80

2x = 40

x = 20

Vậy giá 1 cuốn Conan là 20 nghìn đồng.

Bài 4. Hiện nay tuổi của bố Dũng gấp 5 lần tuổi của Dũng. Sau 6 năm nữa tuổi của bố Dũng gấp 3 lần tuổi của Dũng.

a) Viết phương trình biểu thị sự kiện số tuổi của Dũng và bố Dũng sau 6 năm.

b) Giải phương trình nhận được ở câu a để tính số tuổi hiện tại tuổi của Dũng.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi số tuổi hiện nay của Dũng là x (tuổi).

Số tuổi hiện nay của bố Dũng là 5x (tuổi).

Sau 6 năm nữa tuổi của Dũng là x + 6 (tuổi).

Sau 6 năm nữa tuổi của bố Dũng là 5x + 6 (tuổi).

Theo đề bài, ta có phương trình: 5x + 6 = 3(x + 6).

Vậy phương trình biểu thị sự kiện số tuổi của Dũng và bố sau 6 năm là 5x + 6 = 3(x + 6).

b) Ta có 5x + 6 = 3(x + 6)

5x + 6 = 3x + 18

5x – 3x = 18 – 6

2x = 12

x = 12 : 2

x = 6.

Vậy tuổi của Dũng hiện tại là 6 tuổi.

Bài 5. Theo số liệu thống kê, dân số của một đất nước sau mỗi năm được biểu diễn qua phương trình

M = N(1 + 0,032).

Trong đó, M là số dân của đất nước đó năm nay (triệu người);

N là số dân nước đó vào năm trước (triệu người).

Biết số dân hiện tại của đất nước đó là 103,2 triệu người. Tính số dân đất nước đó năm trước.

Hướng dẫn giải:

Số dân hiện tại của đất nước đó là 103,2 triệu người nên M = 103,2 (triệu người).

Theo đề bài ta có 103,2 = N(1 + 0,032)

N = $\frac{103, 2}{1 + 0, 032}$

N = 100 (triệu người).

Vậy dân số của đất nước đó vào năm trước là 100 triệu người.

Học tốt Phương trình bậc nhất một ẩn

Các bài học để học tốt Phương trình bậc nhất một ẩn Toán lớp 8 hay khác:

Giải sgk Toán 8 Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác