Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 6 Kết nối tri thức

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 6: Phân thức đại số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết cùng các bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 8 Chương 6.

Lý thuyết tổng hợp Toán 8 Chương 6

1. Phân thức đại số

• Một phân thức đại số (hay nói gọn là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó A, B là những đa thức và B khác đa thức 0.

• A được gọi là tử thức (hay tử), B được gọi là mẫu thức (hay mẫu).

Nhận xét: Mỗi đa thức được coi là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Đặc biệt, số 0 và số 1 cũng là những phần thức đại số.

• Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để mẫu thức B khác 0.

Khi thay các biến của phân thức đại số bằng các giá trị nào đó (thỏa mãn điều kiện xác định), ta nhận được một biểu thức số. Giá trị của biểu thức này được gọi là giá trị của phân thức đại số tại các giá trị đã cho của biến.

2. Hai phân thức bằng nhau

Ta nói hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau nếu AD = BC. Ta viết:

$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}$ nếu AD = BC.

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

• Khi thay các biến trong một phân thức đại số bằng các số, ta được một biểu thức số (nếu mẫu số nhận được là số khác 0). Giá trị của biểu thức số đó gọi là giá trị của phân thức tại các giá trị đã cho của biến.

• Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ của biến để giá trị của mẫu thức B khác 0.

Chú ý: Ta chỉ cần quan tâm đến điều kiện xác định khi tính giá trị của phân thức.

4. Tính chất cơ bản của phân thức

• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot M}{B\cdot M}$ (M là một đa thức khác đa thức 0).

• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B}=\frac{A:N}{B:N}$ (N là một nhân tử chung).

5. Rút gọn phân thức và quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

a. Rút gọn phân thức

Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằn nó nhưng đơn giản hơn.

Muốn rút gọn một phân thức đại số, ta làm như sau:

− Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

− Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

b. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

• Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

• Muốn quy đồng mẫu thức thành nhiều phân thức, ta làm như sau:

− Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) rồi tìm mẫu thức chung (MTC).

− Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho từng mẫu thức đó.

− Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

6. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}.$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó.

7. Cộng hai phân thức khác mẫu

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

8. Trừ hai phân thức

• Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

• Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Chú ý:

• Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau:

$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\frac{-C}{D}.$

• $\frac{-C}{D}$ gọi là phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$ và kí hiệu $-\frac{C}{D};$ tổng của một phần thức và phân thức đối của nó bằng 0.

9. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

a. Cách cộng trừ nhiều phân thức

• Khi trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó nên các biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức.

$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left(-\frac{C}{D}\right).$

• Phép cộng các phân thức cũng có tính chất giao hoán, kết hợp:

 $\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$ và $\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right).$

b. Rút gọn biểu thức có dấu ngoặc

Khi rút gọn biểu thức có dấu ngoặc, ta có thể bỏ các dấu ngoặc bằng cách sử dụng quy tắc dấu ngoặc sau:

• Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.

• Nếu trước dấu ngoặc có dấu “−” thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong ngoặc.

10. Nhân hai phân thức

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.$

Chú ý: Cũng tương tự phép nhân phân số, phép nhân các phân thức có các tính chất sau:

• Giao hoán: $\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.$

• Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}\right)\frac{E}{G}=\frac{A}{B}\left(\frac{C}{D}\cdot \frac{E}{G}\right).$

• Phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B}\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{G}\right)=\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}+\frac{A}{B}\cdot \frac{E}{G}.$

11. Chia hai phân thức

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức $\frac{D}{C}.$

 $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C},$ với $\frac{C}{D}\ne 0.$

Nhận xét: $\frac{C}{D}\cdot \frac{D}{C}=1.$ Ta nói $\frac{D}{C}$ là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{C}{D}$.

Bài tập tổng hợp Toán 8 Chương 6

Bài 1. Trong các biểu thức sau biểu thức nào là phân thức?

$\frac{\sqrt{x}-2}{2\text{x}+3};\frac{x+y}{x-y};3{\text{x}}^2-x+5.$

Hướng dẫn giải

Trong các biểu thức trên có $\frac{x+y}{x-y};3{\text{x}}^2-x+5$ là phân thức.

Biểu thức $\frac{\sqrt{\text{x}}-2}{2\text{x}+3}$ không phải là phân thức vì $\sqrt{\text{x}}$ không phải là đa thức.

Bài 2. Tìm giá trị của phân thức:

a) $\text{A}=\frac{2\text{x}-y}{4x^2-y^2}$ tại x = 5, y = 2;

b) $B=\frac{6{\text{x}}^2+12x+6}{x+1}$ tại x = 3.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phân thức A là 4x² – y² ≠ 0 (nghĩa là các giá trị của x và y thỏa mãn 4x² – y² ≠ 0).

Ta có: $\text{A}=\frac{2\text{x}-y}{4x^2-y^2}=\frac{2\text{x}-y}{{\left(2\text{x}\right)}^2-y^2}$$=\frac{2\text{x}-y}{\left(2\text{x}-y\right)\left(2\text{x}+y\right)}=\frac{1}{2\text{x}+y}.$

Khi x = 5, y = 2 thì 4x² – y² = 96 ≠ 0 thỏa mãn điều kiện xác định nên ta có:

$A=\frac{1}{2.5+2}=\frac{1}{12}.$

b) Điều kiện xác định của phân thức B là x + 1 ≠ 0 hay x ≠ – 1.

Ta có: $B=\frac{6{\text{x}}^2+12x+6}{x+1}=\frac{6\left(x^2+2\text{x}+1\right)}{x+1}$$=\frac{6{\left(\text{x}+1\right)}^2}{x+1}=6\left(x+1\right)$

Khi x = 3 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta có:

B = 6 . (3 + 1) = 6 . 4 = 24.

Bài 3. Viết điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau:

a) x² + 3y – 1;

b) $\frac{2\text{x}+7}{5\text{x}-15}$;

c) $\frac{7x}{y^2+4}$;   

d) $\frac{x+y}{x-y}$.

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức x² + 3y – 1 xác định với mọi giá trị của x.

b) Phân thức $\frac{2\text{x}+7}{5\text{x}-15}$ xác định khi 5x – 15 ≠ 0 hay x ≠ 3;

c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{7x}{y^2+4}$ là: y² + 4 ≠  0 (luôn đúng vì y² + 4 > 0 với mọi y).

Do đó, phân thức $\frac{7x}{y^2+4}$ xác định với mọi giá trị của y.

c) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x-1}{x+1}$ là: x + 1 ≠ 0 hay x  ≠ −1.

d) Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+y}{x-y}$ là x – y ≠ 0 hay x ≠ y.

Bài 4. Hai phân thức $\frac{a^{3}b+a{b}^3}{ab(a-b)}$ và $\frac{a^2+b^2}{a-b}$ có bằng nhau không?

Hướng dẫn giải

Ta có:

• (a³b + ab³) . (a – b) = a³b(a – b) + ab³(a – b) = a⁴b – a³b² + a²b³ – ab⁴

• ab(a – b) . (a² + b²) = (a²b – ab²) . (a² + b²)

 = a²b(a² + b²) – ab²(a² + b²)

 = a⁴b + a²b³ – a³b² – ab⁴

Do đó (a³b + ab³) . (a – b) = ab(a – b) . (a² + b²)

Vậy $\frac{a^{3}b+a{b}^3}{ab(a-b)}=\frac{a^2+b^2}{a-b}.$

Bài 5. Rút gọn phân thức sau:

a) $\frac{6\text{a}{b}^3{c}^2}{12{\text{a}}^{2}bc}$;

b) $\frac{36x{y}^2}{16x^2{y}^3}$;

c) $\frac{5{\text{x}}^5-5\text{x}}{x^2+1}$;

d) $\frac{6x-3y}{4x^2-y}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{6\text{a}{b}^3{c}^2}{12{\text{a}}^{2}bc}=\frac{6.\text{a.}{b}^2.b.c.c}{\text{2.a.a.}b.c}=\frac{b^{2}c}{2\text{a}}$;

b) $\frac{36x{y}^2}{16x^2{y}^3}=\frac{9.4x{y}^2}{14xy.4x{y}^2}=\frac{9}{4xy}$;

c) $\frac{5{\text{x}}^5-5\text{x}}{x^2+1}=\frac{5\text{x}\left(x^4-1\right)}{x^2+1}=\frac{5\text{x}\left({\left(x^2\right)}^2-1^2\right)}{x^2+1}$$=\frac{5\text{x}\left(x^2-1\right)\left({\text{x}}^2+1\right)}{x^2+1}=5\text{x}\left({\text{x}}^2-1\right)\text{;}$

d) $\frac{6x-3y}{4x^2-y^2}=\frac{3\left(2x-y\right)}{\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)}=\frac{3}{\left(2x+y\right)}.$

Bài 6. Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{3}{x+2y}$ và $\frac{-1}{x-2y}$;                         

b) $\frac{2}{x+4}$ và $\frac{2}{x^2-16}$;

c) $\frac{1}{3x+3y};\frac{2x}{x^2-y^2}$ và $\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có MTC là: (x + 2y)(x – 2y) .

$\frac{3}{x+2y}=\frac{3.\left(x-2y\right)}{\left(x+2y\right)\left(x-2y\right)}=\frac{3x-6y}{x^2-4y^2};$

$\frac{-1}{x-2y}=\frac{3}{x+2y}$$=\frac{-1.\left(x+2y\right)}{\left(x-2y\right)\left(x+2y\right)}=\frac{-x+2y}{x^2-4y^2}.$

b) Ta có: x² – 16 = (x – 4)(x + 4) .

Chọn MTC là (x – 4)(x + 4).

$\frac{2}{x+4}=\frac{2\left(x-4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-4\right)}=\frac{2x-8}{x^2-16}$; giữ nguyên phân thức $\frac{2}{x^2-16}$.

c) Ta có: 3x + 3y = 3(x + y);

x² – y² = (x + y)(x – y);

x² – 2xy + y² = (x – y)².

Chọn MTC là: 3(x + y)(x – y)².

$\frac{1}{3x+3y}=\frac{1}{3\left(x+y\right)}=\frac{{\left(x-y\right)}^2}{3\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2};$

$\frac{2x}{x^2-y^2}=\frac{2x}{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}$$=\frac{2x\cdot 3\left(x-y\right)}{3\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2}=\frac{6x\left(x-y\right)}{3\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2};$

$\frac{x^2-xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}=\frac{x^2-xy+y^2}{{\left(x-y\right)}^2}$$=\frac{3\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{3\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2}=\frac{3\left(x^3+y^3\right)}{3\left(x+y\right){\left(x-y\right)}^2}.$

Bài 7. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{2\text{x}+1}{x+y}+\frac{2y+1}{y+x}$;

b) $\frac{{\left(x-xy\right)}^2}{x^{2}y}-\frac{{\left(x+xy\right)}^2}{x^{2}y}$;

c) $\frac{3\text{x}+5}{x-2y}+\frac{x+1}{2\text{x}+y}$;

d) $\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a^2+2\text{a}+1}$;

e) $\frac{5\text{x}-1}{x-5}+\frac{2\text{x}+3}{5-x}-\frac{x}{x-5}$;

f) $\text{x}+y+\frac{xy}{x+y}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2\text{x}+1}{x+y}+\frac{2y+1}{y+x}=\frac{2\text{x}+1}{x+y}+\frac{2y+1}{x+y}$$=\frac{2\text{x}+1+2y+1}{x+y}=\frac{2\text{x}+2y+2}{x+y};$

b) $\frac{{\left(x-xy\right)}^2}{x^{2}y}-\frac{{\left(x+xy\right)}^2}{x^{2}y}=\frac{{\left(x-xy\right)}^2-{\left(x+xy\right)}^2}{x^{2}y}$

$=\frac{\left(x-xy-x-xy\right)\left(x-xy+x+xy\right)}{x^{2}y}$

$=\frac{-2\text{x}y.2\text{x}}{x^{2}y}=\frac{-4{\text{x}}^{2}y}{x^{2}y}=-4;$

c) $\frac{3\text{x}+5}{x-2y}+\frac{x+1}{2\text{x}+y}$$=\frac{\left(3\text{x}+5\right)\left(2\text{x}+y\right)}{\left(x-2y\right)\left(2\text{x}+y\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-2y\right)}{\left(2\text{x}+y\right)\left(x-2y\right)}$

$=\frac{6{\text{x}}^2+3\text{x}y+10\text{x}+5y+x^2-2\text{x}y+x-2y}{\left(x-2y\right)\left(2\text{x}+y\right)}$

$=\frac{{\text{7x}}^2+\text{x}y+11\text{x}+3y}{\left(x-2y\right)\left(2\text{x}+y\right)};$

d) $\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a^2+2\text{a}+1}=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}$

$=\frac{a+1}{{\left(a+1\right)}^2}-\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}$$=\frac{a+1-1}{{\left(a+1\right)}^2}=\frac{a}{{\left(a+1\right)}^2};$

e) $\frac{5\text{x}-1}{x-5}+\frac{2\text{x}+3}{5-x}-\frac{x}{x-5}$$=\frac{5\text{x}-1}{x-5}-\frac{2\text{x}+3}{x-5}-\frac{x}{x-5}$

$=\frac{5\text{x}-1-\left(2\text{x}+3\right)-x}{x-5}$

$=\frac{\text{4x}-1-2\text{x}-3}{x-5}=\frac{2\text{x}-4}{x-5};$

f) $\text{x}+y+\frac{xy}{x+y}=\frac{{\left(x+y\right)}^2}{x+y}+\frac{xy}{x+y}$

$=\frac{x^2+2xy+y^2+xy}{x+y}$$=\frac{x^2+3\text{x}y+y^2}{x+y}.$

Bài 8. Sử dụng quy tắc đổi dấu thực hiện phép tính sau theo cách hợp lí:

$\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}.$

Hướng dẫn giải

$\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}$

$=\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}-\frac{6}{x-1}$

$=\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}$$-\frac{6\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{4x^2-3x+17+2x^2-2x-x+1-6x^2-6x-6}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-12x+12}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{-12\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-12}{x^2+x+1}.$

Ví dụ 9. Thực hiện phép tính:

$\frac{x}{x^2+1}-\left(\frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4}\right)$$+[\frac{3}{x+6}-\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{x-2}{x+4}\right)].$

Hướng dẫn giải

$\frac{x}{x^2+1}-\left(\frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4}\right)$$+[\frac{3}{x+6}-\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{x-2}{x+4}\right)]$

$=\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{x-2}{x+4}$$+[\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{x-2}{x+4}]$

$=\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{x-2}{x+4}$$+\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{x-2}{x+4}$

$=\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\right)+\left(\frac{3}{x+6}-\frac{3}{x+6}\right)$$+\left(\frac{x-2}{x+4}-\frac{x-2}{x+4}\right)$

$=\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}=\frac{x-1}{x^2+1}.$

Bài 10. Hai ô tô cùng đi từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 300 km, biết vận tốc ô tô thứ nhất là x (km/h), vận tốc ô tô thứ nhất là y (km/h) (x > y). Nếu xuất phát cùng lúc thì ô tô nào đến trước và đến trước bao nhiêu giờ?

Hướng dẫn giải

Thời gian ô tô thứ nhất đi từ A đến B là $\frac{300}{x}$ (giờ).

Thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là $\frac{300}{y}$ (giờ).

Vì x > y nên $\frac{300}{x}<\frac{300}{y}$.

Suy ra ô tô thứ nhất sẽ đến B trước ô tô thứ hai.

Thời gian ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai là:

$\frac{300}{y}-\frac{300}{x}=\frac{300\text{x}-300y}{xy}$$=\frac{300\left(\text{x}-y\right)}{xy}$ (giờ).

Vậy ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai và đến trước $\frac{300\left(x-y\right)}{xy}$ giờ.

Bài 11. Thực hiện các phép nhân phân thức sau:

a) $\frac{{\left(x-5\right)}^2}{x^3}\cdot \frac{2\text{x}}{x-5}$;

b) $\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}\cdot \frac{x+y}{x^2-y^2}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{\left(x-5\right)}^2}{x^3}\cdot \frac{2\text{x}}{x-5}$$=\frac{{\left(x-5\right)}^2\cdot 2\text{x}}{x^3\left(\text{x}-5\right)}=\frac{2\left(x-5\right)}{x^2};$

b) $\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}\cdot \frac{x+y}{x^2-y^2}$

$=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}$

$=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)}$

$=\frac{x+y}{x^3-y^3}.$

Bài 12. Thực hiện các phép chia phân thức sau:

a) $\frac{15a^7}{2b^2}:\frac{3{\text{a}}^5}{7b^3};$

b) $\frac{a^2+6\text{a}+9}{a^3+27}:\frac{a+1}{a^2+3\text{a}+9}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{15a^7}{2b^2}:\frac{3{\text{a}}^5}{7b^3}=\frac{15a^7}{2b^2}.\frac{7b^3}{3a^5}$$=\frac{15a^7.7b^3}{2b^2.3{\text{a}}^5}=\frac{35{\text{a}}^{2}b}{2};$

b) $\frac{a^2+6\text{a}+9}{a^3+27}:\frac{a+1}{a^2+3\text{a}+9}$

$=\frac{{\left(a+3\right)}^2}{\left(a+3\right)\left(a^2+3\text{a}+9\right)}\cdot \frac{a^2+3\text{a}+9}{a+1}$

$=\frac{{\left(a+3\right)}^2\left(a^2+3\text{a}+9\right)}{\left(a+3\right)\left(a^2+3\text{a}+9\right)\left(a+1\right)}$

$=\frac{a+3}{a+1}.$

Bài 13. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}{x^2-1}\cdot \frac{x}{3x+2}\cdot \frac{x+1}{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4};$

b) $\left(\frac{x+2}{x^2}+\frac{x^2-4}{2x}\right):\frac{x^3+8}{3\text{x}}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}{x^2-1}\cdot \frac{x}{3x+2}\cdot \frac{x+1}{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}$

$=\frac{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}\cdot \frac{x}{3\text{x}+2}$

$=\frac{\left(2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2-1\right)\left(2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4\right)}\cdot \frac{x}{3\text{x}+2}$

$=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\cdot \frac{x}{3\text{x}+2}$

$=\frac{1}{x-1}\cdot \frac{x}{3\text{x}+2}=\frac{x}{\left(x-1\right)\left(3\text{x}+2\right)}.$

b) $\left(\frac{x+2}{x^2}+\frac{x^2-4}{2x}\right):\frac{x^3+8}{3\text{x}}$

$=\left(\frac{x+2}{x^2}+\frac{x^2-4}{2x}\right)\frac{3\text{x}}{x^3+8}$

$=\frac{x+2}{x^2}\cdot \frac{3\text{x}}{x^3+8}+\frac{x^2-4}{2x}\cdot \frac{3\text{x}}{x^3+8}$

$=\frac{\left(x+2\right)\cdot 3\text{x}}{x^2\left(x^3+8\right)}+\frac{\left(x^2-4\right)\cdot 3\text{x}}{2x\left(x^3+8\right)}$

$=\frac{\left(x+2\right)\cdot 3}{x\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}$$+\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)\cdot 3}{2\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}$

$=\frac{3}{x\left(x^2-2x+4\right)}+\frac{3\left(x-2\right)}{2\left(x^2-2x+4\right)}$

$=\frac{3.2}{2x\left(x^2-2\text{x}+4\right)}+\frac{3x\left(x-2\right)}{2x\left(x^2-2\text{x}+4\right)}$

$=\frac{6+3{\text{x}}^2-6x}{2x\left(x^2-2\text{x}+4\right)}$

$=\frac{{\text{3x}}^2-6\text{x}+6}{2x\left(x^2-2\text{x}+4\right)}.$

Bài 14. Tính:

a) $\frac{x+1}{x-1}\left(x^2-x+1+\frac{2x^2+5}{x+1}\right)\text{;}$

b) $\frac{x^2+6\text{x}+9}{x-1}\cdot \frac{x}{x+3}\cdot \frac{3x^2-3}{5\text{x}-10}.$

Hướng dẫn giải.

a) $\frac{x+1}{x-1}\left(x^2-x+1+\frac{2x^2+5}{x+1}\right)$

$=\frac{x+1}{x-1}[\frac{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}{x+1}+\frac{2x^2+5}{x+1}]$

$=\frac{x+1}{x-1}\cdot \frac{x^3+1+2x^2+5}{x+1}$

$=\frac{x^3+2{\text{x}}^2+6}{x-1}.$

b) $\frac{x^2+6\text{x}+9}{x-1}\cdot \frac{x}{x+3}\cdot \frac{3x^2-3}{5\text{x}-10}$

$=\frac{{\left(x+3\right)}^2}{x-1}\cdot \frac{x}{x+3}\cdot \frac{3\left(x^2-1\right)}{5\left(x-2\right)}$

$=\frac{{\left(x+3\right)}^2\cdot x\cdot 3\left(\text{x}-1\right)\left(\text{x}+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)\cdot 5\left(x-2\right)}$

$=\frac{3x\left(x+3\right)\left(\text{x+1}\right)}{5\left(x-2\right)}.$

Bài 15. An chèo thuyền từ điểm A đến điểm B cách nhau 5 km với vận tốc x (km/h). Lượt đi từ B về A thuận chiều gió nên vận tốc nhanh hơn 2 km/h (coi vận tốc của dòng nước bằng 0).

a) Viết biểu thức biểu thị tổng thời gian T hai lượt đi và lượt về.

b) Viết biểu thức biểu thị hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về.

c) Tính giá trị của T và t khi x = 7 km/h.

Hướng dẫn giải

a) Thời gian An chèo thuyền từ A đến B là $\frac{5}{x}$ (giờ)

Vận tốc của An khi chèo thuyền từ B về A là: x + 2 (km/h)

Thời gian An đi từ B về A là $\frac{5}{x+2}$ (giờ).

Tổng thời gian T hai lượt đi và lượt về là:

$T=\frac{5}{x}+\frac{5}{x+2}=\frac{5\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}+\frac{5x}{x\left(x+2\right)}$$=\frac{5\text{x}+10+5x}{x\left(\text{x}+2\right)}=\frac{10\text{x}+10}{x\left(x+2\right)}$ (giờ).

b) Hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về là:

$t=\frac{5}{x}-\frac{5}{x+2}=\frac{5\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}-\frac{5x}{x\left(x+2\right)}$$=\frac{5\text{x}+10-5\text{x}}{x\left(x+2\right)}=\frac{10}{x\left(x+2\right)}$ (giờ).

c) Khi x = 7 km/h ta có:

$T=\frac{10\text{x}+10}{x\left(x+2\right)}=\frac{10.7+10}{7\left(7+2\right)}=\frac{80}{63}$ (giờ).

$t=\frac{10}{x\left(x+2\right)}=\frac{10}{7\left(7+2\right)}=\frac{10}{63}$ (giờ).

Vậy khi x = 7 km/h thì $T=\frac{80}{63}$ giờ và $t=\frac{10}{63}$ giờ.

Học tốt Toán 8 Chương 6

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 6 Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

• Lý thuyết Toán 8 Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

• Lý thuyết Toán 8 Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

• Lý thuyết Toán 8 Bài 27: Khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số

• Lý thuyết Toán 8 Bài 28: Hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm số bậc nhất

• Lý thuyết Toán 8 Bài 29: Hệ số góc của đường thẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---