Phép nhân và phép chia phân thức đại số lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Phép nhân và phép chia phân thức đại số

1. Nhân hai phân thức

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

$\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}.$

Ví dụ 1. Thực hiện các phép nhân phân thức sau:

a) $\frac{3\text{x}y}{5\text{x}}\cdot \frac{12{\text{x}}^2{y}^2}{7y^3}$;

b) $\frac{x^2-4\text{x}}{x+1}\cdot \frac{x^3+1}{x-2}$.

Hướng dẫn giải.

a) $\frac{3\text{x}y}{5\text{x}}\cdot \frac{12{\text{x}}^2{y}^2}{7y^3}$$=\frac{3\text{x}y\cdot 12{\text{x}}^2{y}^2}{5\text{x}\cdot 7y^3}=\frac{36{\text{x}}^2}{35}$;

b) $\frac{x^2-4}{x+1}\cdot \frac{x^3+1}{x-2}$

$=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x+1}\cdot \frac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{x-2}$

$=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$=\left(x+2\right)\left(x^2-x+1\right).$

Chú ý: Cũng tương tự phép nhân phân số, phép nhân các phân thức có các tính chất sau:

• Giao hoán: $\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{C}{D}\cdot \frac{A}{B}.$

• Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}\right)\frac{E}{G}=\frac{A}{B}\left(\frac{C}{D}\cdot \frac{E}{G}\right).$

• Phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B}\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{G}\right)=\frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}+\frac{A}{B}\cdot \frac{E}{G}.$

Ví dụ 2. Tính:

a) $\frac{x+1}{x-1}\left(x^2-x+1+\frac{2x^2+5}{x+1}\right)$;

b) $\frac{x^2+6\text{x}+9}{x-1}\cdot \frac{x}{x+3}\cdot \frac{3x^2-3}{5\text{x}-10}.$

Hướng dẫn giải.

a) $\frac{x+1}{x-1}\left(x^2-x+1+\frac{2x^2+5}{x+1}\right)$

$=\frac{x+1}{x-1}[\frac{\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)}{x+1}+\frac{2x^2+5}{x+1}]$

$=\frac{x+1}{x-1}\cdot \frac{x^3+1+2x^2+5}{x+1}$

$=\frac{x^3+2{\text{x}}^2+6}{x-1}.$

b) $\frac{x^2+6\text{x}+9}{x-1}\cdot \frac{x}{x+3}\cdot \frac{3x^2-3}{5\text{x}-10}$

$=\frac{{\left(x+3\right)}^2}{x-1}\cdot \frac{x}{x+3}\cdot \frac{3\left(x^2-1\right)}{5\left(x-2\right)}$

$=\frac{{\left(x+3\right)}^2\cdot x\cdot 3\left(\text{x}-1\right)\left(\text{x}+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)\cdot 5\left(x-2\right)}$

$=\frac{3x\left(x+3\right)\left(\text{x+1}\right)}{5\left(x-2\right)}.$

2. Chia hai phân thức

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$ khác 0, ta nhân $\frac{A}{B}$ với phân thức $\frac{D}{C}.$

 $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot \frac{D}{C},$ với $\frac{C}{D}\ne 0.$

Nhận xét: $\frac{C}{D}\cdot \frac{D}{C}=1.$ Ta nói $\frac{D}{C}$ là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{C}{D}$.

Ví dụ 3. Thực hiện các phép chia phân thức sau:

a) $\frac{3\text{x}+5}{x^2-9}:\frac{x-3}{x+3}$;

b) $\frac{a}{b}\cdot \frac{ab}{c^2}:\frac{a^{2}c}{b^2}$;

c) $\frac{5}{x}-\frac{3}{x}\cdot \frac{x^3}{4}+\frac{1}{x}:\frac{2}{x}$.

Hướng dẫn giải.

a) $\frac{3\text{x}+5}{x^2-9}:\frac{x-3}{x+3}=\frac{3\text{x}+5}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\cdot \frac{x+3}{x-3}$

$=\frac{\left(3\text{x}+5\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{3\text{x}+5}{{\left(\text{x}-3\right)}^2};$

b) $\frac{a}{b}\cdot \frac{ab}{c^2}:\frac{a^{2}c}{b^2}=\left(\frac{a}{b}\cdot \frac{ab}{c^2}\right):\frac{a^{2}c}{b^2}$$=\frac{a^2}{c^2}\cdot \frac{b^2}{a^{2}c}=\frac{b^2}{c^3};$

c) $\frac{5}{x}-\frac{3}{x}\cdot \frac{x^3}{4}+\frac{1}{x}:\frac{2}{x}$$=\frac{5}{x}-\frac{3x^2}{4}+\frac{1}{2}$

$=\frac{5\cdot 4}{4x}-\frac{3x^2\cdot x}{4x}+\frac{2\text{x}}{4\text{x}}$$=\frac{-3{\text{x}}^3+2\text{x}+20}{4x}.$

Bài tập Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Bài 1. Thực hiện các phép nhân phân thức sau:

a) $\frac{{\left(x-5\right)}^2}{x^3}\cdot \frac{2\text{x}}{x-5}$;

b) $\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}\cdot \frac{x+y}{x^2-y^2}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{{\left(x-5\right)}^2}{x^3}\cdot \frac{2\text{x}}{x-5}$$=\frac{{\left(x-5\right)}^2\cdot 2\text{x}}{x^3\left(\text{x}-5\right)}=\frac{2\left(x-5\right)}{x^2};$

b) $\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}\cdot \frac{x+y}{x^2-y^2}$

$=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x^2-y^2\right)}$

$=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}{\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)}$

$=\frac{x+y}{x^3-y^3}.$

Bài 2. Thực hiện các phép chia phân thức sau:

a) $\frac{15a^7}{2b^2}:\frac{3{\text{a}}^5}{7b^3}$;

b) $\frac{a^2+6\text{a}+9}{a^3+27}:\frac{a+1}{a^2+3\text{a}+9}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{15a^7}{2b^2}:\frac{3{\text{a}}^5}{7b^3}=\frac{15a^7}{2b^2}\cdot \frac{7b^3}{3a^5}$$=\frac{15a^7\cdot 7b^3}{2b^2\cdot 3{\text{a}}^5}=\frac{35{\text{a}}^{2}b}{2};$

b) $\frac{a^2+6\text{a}+9}{a^3+27}:\frac{a+1}{a^2+3\text{a}+9}$

$=\frac{{\left(a+3\right)}^2}{\left(a+3\right)\left(a^2+3\text{a}+9\right)}\cdot \frac{a^2+3\text{a}+9}{a+1}$

$=\frac{{\left(a+3\right)}^2\left(a^2+3\text{a}+9\right)}{\left(a+3\right)\left(a^2+3\text{a}+9\right)\left(a+1\right)}$

$=\frac{a+3}{a+1}.$

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}{x^2-1}\cdot \frac{x}{3x+2}\cdot \frac{x+1}{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4};$

b) $\left(\frac{x+2}{x^2}+\frac{x^2-4}{2x}\right):\frac{x^3+8}{3\text{x}}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}{x^2-1}\cdot \frac{x}{3x+2}\cdot \frac{x+1}{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}$

$=\frac{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}{x^2-1}\cdot \frac{x+1}{2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4}\cdot \frac{x}{3\text{x}+2}$

$=\frac{\left(2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4\right)\left(x+1\right)}{\left(x^2-1\right)\left(2{\text{x}}^4+3{\text{x}}^3+4\right)}\cdot \frac{x}{3\text{x}+2}$

$=\frac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\cdot \frac{x}{3\text{x}+2}$

$=\frac{1}{x-1}\cdot \frac{x}{3\text{x}+2}=\frac{x}{\left(x-1\right)\left(3\text{x}+2\right)}.$

b) $\left(\frac{x+2}{x^2}+\frac{x^2-4}{2x}\right):\frac{x^3+8}{3\text{x}}$

$=\left(\frac{x+2}{x^2}+\frac{x^2-4}{2x}\right)\frac{3\text{x}}{x^3+8}$

$=\frac{x+2}{x^2}\cdot \frac{3\text{x}}{x^3+8}+\frac{x^2-4}{2x}\cdot \frac{3\text{x}}{x^3+8}$

$=\frac{\left(x+2\right)\cdot 3\text{x}}{x^2\left(x^3+8\right)}+\frac{\left(x^2-4\right)\cdot 3\text{x}}{2x\left(x^3+8\right)}$

$=\frac{\left(x+2\right)\cdot 3}{x\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}$$+\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)\cdot 3}{2\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}$

$=\frac{3}{x\left(x^2-2x+4\right)}+\frac{3\left(x-2\right)}{2\left(x^2-2x+4\right)}$

$=\frac{3.2}{2x\left(x^2-2\text{x}+4\right)}+\frac{3x\left(x-2\right)}{2x\left(x^2-2\text{x}+4\right)}$

$=\frac{6+3{\text{x}}^2-6x}{2x\left(x^2-2\text{x}+4\right)}$

$=\frac{{\text{3x}}^2-6\text{x}+6}{2x\left(x^2-2\text{x}+4\right)}.$

Bài 4. An chèo thuyền từ điểm A đến điểm B cách nhau 5 km với vận tốc x (km/h). Lượt đi từ B về A thuận chiều gió nên vận tốc nhanh hơn 2 km/h (coi vận tốc của dòng nước bằng 0).

a) Viết biểu thức biểu thị tổng thời gian T hai lượt đi và lượt về.

b) Viết biểu thức biểu thị hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về.

c) Tính giá trị của T và t khi x = 7 km/h.

Hướng dẫn giải

a) Thời gian An chèo thuyền từ A đến B là $\frac{5}{x}$ (giờ).

Vận tốc của An khi chèo thuyền từ B về A là: x + 2 (km/h).

Thời gian An đi từ B về A là $\frac{5}{x+2}$ (giờ).

Tổng thời gian T hai lượt đi và lượt về là:

$T=\frac{5}{x}+\frac{5}{x+2}=\frac{5\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}+\frac{5x}{x\left(x+2\right)}$$=\frac{5\text{x}+10+5x}{x\left(\text{x}+2\right)}=\frac{10\text{x}+10}{x\left(x+2\right)}$ (giờ).

b) Hiệu thời gian t lượt đi đối với lượt về là:

$t=\frac{5}{x}-\frac{5}{x+2}=\frac{5\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)}-\frac{5x}{x\left(x+2\right)}$$=\frac{5\text{x}+10-5\text{x}}{x\left(x+2\right)}=\frac{10}{x\left(x+2\right)}$ (giờ).

c) Khi x = 7 (km/h) ta có:

$T=\frac{10\text{x}+10}{x\left(x+2\right)}=\frac{10.7+10}{7\left(7+2\right)}=\frac{80}{63}$ (giờ).

$t=\frac{10}{x\left(x+2\right)}=\frac{10}{7\left(7+2\right)}=\frac{10}{63}$ (giờ).

Vậy khi x = 7 km/h thì $T=\frac{80}{63}$ giờ và $t=\frac{10}{63}$ giờ.

Học tốt Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Các bài học để học tốt Phép nhân và phép chia phân thức đại số Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 6

• Lý thuyết Toán 8 Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

• Lý thuyết Toán 8 Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

• Lý thuyết Toán 8 Bài 27: Khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số

• Lý thuyết Toán 8 Bài 28: Hàm số bậc nhất và đồ thị của hàm số bậc nhất

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---