Phép cộng và phép trừ phân thức đại số lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu

Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}.$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng của hai phân thức đó.

Ví dụ 1. Cộng hai $\frac{x+3y}{x-2y}$ phân thức và $\frac{3\text{x}+y}{x-2y}.$

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{x+3y}{x-2y}+\frac{3\text{x}+y}{x-2y}$$=\frac{x+3y+3\text{x}+y}{x-2y}=\frac{4\text{x}+4y}{x-2y}.$

2. Cộng hai phân thức khác mẫu

Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Ví dụ 2. Tính các tổng sau:

a) $\frac{a+1}{a}+\frac{a+1}{a+3};$

b) $\frac{1}{2x^2+2x}+\frac{1}{3x^2-6x}.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{a+1}{a}+\frac{a+1}{a+3}=\frac{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}{a\left(a+3\right)}+\frac{a\left(a+1\right)}{a\left(a+3\right)}$

$=\frac{a^2+3\text{a}+a+3+a^2+a}{a\left(a+3\right)}=\frac{2{\text{a}}^2+5\text{a}+3}{a\left(a+3\right)};$

b) $\frac{1}{2x^2+2x}+\frac{1}{3x^2-6x}$$=\frac{1}{2x\left(x+1\right)}+\frac{1}{3x\left(x-2\right)}$

$=\frac{3\left(x-2\right)}{6x\left(x+1\right)\left(x-2\right)}+\frac{2\left(x+1\right)}{6x\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{3x-6+2x+2}{6x\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{5x-4}{6x\left(x+1\right)\left(x-2\right)}.$

2. Trừ hai phân thức

• Muốn trừ hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

• Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu vừa tìm được.

Ví dụ 3. Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{3{\text{x}}^2+x+1}{x-3}-\frac{{\text{x}}^2+13x-19}{x-3}.$

b) $\frac{b}{a^{2}b-a{b}^2}-\frac{a+b}{a^2-ab}.$

Hướng dẫn giải.

a) $\frac{3{\text{x}}^2+x+1}{x-3}-\frac{{\text{x}}^2+13x-17}{x-3}$

$=\frac{3{\text{x}}^2+x+1-\left({\text{x}}^2+13x-17\right)}{x-3}$

$=\frac{{\text{3x}}^2\text{+ x +1}-{\text{x}}^2-13x+17}{x-3}$

$=\frac{{\text{2x}}^2-12\text{x +18}}{x-3}$

$=\frac{2\left({\text{x}}^2-6\text{x}+9\right)}{x-3}$

$=\frac{2{\left(\text{x}-3\right)}^2}{x-3}=2\left(x-3\right)$

b) $\frac{b}{a^{2}b-a{b}^2}-\frac{a+b}{a^2-ab}$$=\frac{b}{ab\left(a-b\right)}-\frac{a+b}{a\left(a-b\right)}$

$=\frac{1}{a\left(a-b\right)}-\frac{\left(a+b\right)}{a\left(a-b\right)}=\frac{1-a-b}{a\left(a-b\right)}$

Chú ý:

• Cũng như phép trừ phân số, ta có thể chuyển phép trừ phân thức thành phép cộng phân thức như sau:

$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\frac{-C}{D}.$

• $\frac{-C}{D}$ gọi là phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$ và kí hiệu $-\frac{C}{D};$ tổng của một phần thức và phân thức đối của nó bằng 0.

Ví dụ 4. Phân thức đối của phân thức $\frac{2x}{x+y}$ là $-\frac{2x}{x+y}.$

3. Cộng, trừ nhiều phân thức đại số

a. Cách cộng trừ nhiều phân thức

• Khi trừ một phân thức cũng là cộng với phân thức đối của phân thức đó nên các biểu thức gồm các phép tính cộng, trừ phân thức cũng có thể xem là chỉ gồm các phép cộng phân thức.

$\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left(-\frac{C}{D}\right).$

• Phép cộng các phân thức cũng có tính chất giao hoán, kết hợp:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B}$ và $\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right).$

Ví dụ 5. Thực hiện phép tính: $\frac{2x}{x+2}+\frac{\text{5x}+11}{x^2+4x+4}-\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}.$

Hướng dẫn giải

$\frac{2x}{x+2}+\frac{\text{5x}+11}{x^2+4x+4}-\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{2x}{x+2}+\frac{\text{5x}+11}{{\left(x+2\right)}^2}-\frac{1}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{2x}{x+2}+\frac{\text{5x}+11-1}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{2x}{x+2}+\frac{\text{5x}+10}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{2x}{x+2}+\frac{\text{5}\left(x+2\right)}{{\left(x+2\right)}^2}$

$=\frac{2x}{x+2}+\frac{\text{5}}{x+2}=\frac{2\text{x}+\text{5}}{x+2}.$

b. Rút gọn biểu thức có dấu ngoặc

Khi rút gọn biểu thức có dấu ngoặc, ta có thể bỏ các dấu ngoặc bằng cách sử dụng quy tắc dấu ngoặc sau:

• Nếu trước dấu ngoặc có dấu “+” thì bỏ dấu ngoặc và giữ nguyên các số hạng.

• Nếu trước dấu ngoặc có dấu “−” thì bỏ dấu ngoặc và đổi dấu các số hạng trong ngoặc.

Ví dụ 6. Thực hiện phép tính:

$\frac{x}{x^2+1}-\left(\frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4}\right)+[\frac{3}{x+6}-\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{x-2}{x+4}\right)].$

Hướng dẫn giải

$\frac{x}{x^2+1}-\left(\frac{3}{x+6}+\frac{x-2}{x+4}\right)$$+[\frac{3}{x+6}-\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{x-2}{x+4}\right)]$

$=\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{x-2}{x+4}$$+[\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{x-2}{x+4}]$

$=\frac{x}{x^2+1}-\frac{3}{x+6}-\frac{x-2}{x+4}$$+\frac{3}{x+6}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{x-2}{x+4}$

$=\left(\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}\right)+\left(\frac{3}{x+6}-\frac{3}{x+6}\right)$$+\left(\frac{x-2}{x+4}-\frac{x-2}{x+4}\right)$

$=\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+1}=\frac{x-1}{x^2+1}.$

Bài tập Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Bài 1. Thực hiện các phép cộng, trừ phân thức sau:

a) $\frac{2\text{x}+1}{x+y}+\frac{2y+1}{y+x};$

b) $\frac{{\left(x-xy\right)}^2}{x^{2}y}-\frac{{\left(x+xy\right)}^2}{x^{2}y}$.

c) $\frac{3\text{x}+5}{x-2y}+\frac{x+1}{2\text{x}+y}$;

d) $\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a^2+2\text{a}+1}$;

e) $\frac{5\text{x}-1}{x-5}+\frac{2\text{x}+3}{5-x}-\frac{x}{x-5}$;

f) $\text{x}+y+\frac{xy}{x+y}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2\text{x}+1}{x+y}+\frac{2y+1}{y+x}=\frac{2\text{x}+1}{x+y}+\frac{2y+1}{x+y}$$=\frac{2\text{x}+1+2y+1}{x+y}=\frac{2\text{x}+2y+2}{x+y}.$

b) $\frac{{\left(x-xy\right)}^2}{x^{2}y}-\frac{{\left(x+xy\right)}^2}{x^{2}y}$$=\frac{{\left(x-xy\right)}^2-{\left(x+xy\right)}^2}{x^{2}y}$

$=\frac{\left(x-xy-x-xy\right)\left(x-xy+x+xy\right)}{x^{2}y}$

$=\frac{-2\text{x}y.2\text{x}}{x^{2}y}=\frac{-4{\text{x}}^{2}y}{x^{2}y}=-4.$

c) $\frac{3\text{x}+5}{x-2y}+\frac{x+1}{2\text{x}+y}$$=\frac{\left(3\text{x}+5\right)\left(2\text{x}+y\right)}{\left(x-2y\right)\left(2\text{x}+y\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-2y\right)}{\left(2\text{x}+y\right)\left(x-2y\right)}$

$=\frac{6{\text{x}}^2+3\text{x}y+10\text{x}+5y+x^2-2\text{x}y+x-2y}{\left(x-2y\right)\left(2\text{x}+y\right)}$

$=\frac{{\text{7x}}^2+\text{x}y+11\text{x}+3y}{\left(x-2y\right)\left(2\text{x}+y\right)}.$

d) $\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a^2+2\text{a}+1}=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}$

$=\frac{a+1}{{\left(a+1\right)}^2}-\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}$$=\frac{a+1-1}{{\left(a+1\right)}^2}=\frac{a}{{\left(a+1\right)}^2}.$

e) $\frac{5\text{x}-1}{x-5}+\frac{2\text{x}+3}{5-x}-\frac{x}{x-5}$$=\frac{5\text{x}-1}{x-5}-\frac{2\text{x}+3}{x-5}-\frac{x}{x-5}$

$=\frac{5\text{x}-1-\left(2\text{x}+3\right)-x}{x-5}$

$=\frac{\text{4x}-1-2\text{x}-3}{x-5}=\frac{2\text{x}-4}{x-5}.$

f) $\text{x}+y+\frac{xy}{x+y}=\frac{{\left(x+y\right)}^2}{x+y}+\frac{xy}{x+y}$

$=\frac{x^2+2xy+y^2+xy}{x+y}$$=\frac{x^2+3\text{x}y+y^2}{x+y}.$

Bài 2. Sử dụng quy tắc đổi dấu thực hiện phép tính sau theo cách hợp lí:

$\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}.$

Hướng dẫn giải

$\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}$

$=\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}-\frac{6}{x-1}$

$=\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}$$-\frac{6\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{4x^2-3x+17+2x^2-2x-x+1-6x^2-6x-6}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-12x+12}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{-12\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-12}{x^2+x+1}.$

Bài 3. Hai ô tô cùng đi từ thành phố A đến thành phố B cách nhau 300 km, biết vận tốc ô tô thứ nhất là x (km/h), vận tốc ô tô thứ nhất là y (km/h) (x > y). Nếu xuất phát cùng lúc thì ô tô nào đến trước và đến trước bao nhiêu giờ?

Hướng dẫn giải

Thời gian ô tô thứ nhất đi từ A đến B là $\frac{300}{x}$ (giờ).

Thời gian ô tô thứ hai đi từ A đến B là $\frac{300}{y}$ (giờ).

Vì x > y nên $\frac{300}{x}<\frac{300}{y}$.

Suy ra ô tô thứ nhất sẽ đến B trước ô tô thứ hai.

Thời gian ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai là:

 $\frac{300}{y}-\frac{300}{x}=\frac{300\text{x}-300y}{xy}$$=\frac{300\left(\text{x}-y\right)}{xy}$ (giờ).

Vậy ô tô thứ nhất đến trước ô tô thứ hai và đến trước $\frac{300\left(\text{x}-y\right)}{xy}$ giờ.

Học tốt Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Các bài học để học tốt Phép cộng và phép trừ phân thức đại số Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

• Lý thuyết Toán 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 6

• Lý thuyết Toán 8 Bài 25: Phương trình bậc nhất một ẩn

• Lý thuyết Toán 8 Bài 26: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

• Lý thuyết Toán 8 Bài 27: Khái niệm hàm số và đồ thị của hàm số

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---