Tính chất cơ bản của phân thức đại số lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Kết nối tri thức)

Trang trước Trang sau

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Lý thuyết Tính chất cơ bản của phân thức đại số

1. Tính chất cơ bản của phân thức

• Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot M}{B \cdot M}$ (M là một đa thức khác đa thức 0).

• Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho cùng một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B} = \frac{A : N}{B : N}$ (N là một nhân tử chung).

Ví dụ 1. Dùng tính chất cơ bản của phân thức để chứng minh hai phân thức bằng nhau:

a) $\frac{x^{2} y}{x^{2} y + x y^{2}} = \frac{x}{x + y}$ ;

b) $\frac{- 115 x^{3} y z^{2}}{530 x y z} = \frac{- 23 x^{2} z}{106}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\frac{x^{2} y}{x^{2} y + x y^{2}} = \frac{x \cdot x y}{x y (x + y)} = \frac{x}{x + y}$ ;

b) $\frac{- 115 x^{3} y z^{2}}{530 x y z} = \frac{(- 115 x^{3} y z^{2}) : (5 x y z)}{(530 x y z) : (5 x y z)} = \frac{- 23 x^{2} z}{106}$ .

2. Rút gọn phân thức và quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

a. Rút gọn phân thức

Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằn nó nhưng đơn giản hơn.

Muốn rút gọn một phân thức đại số, ta làm như sau:

− Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung;

− Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ 2. Rút gọn phân thức $A = \frac{15 x (x^{3} + y^{3})}{5 (x^{3} y - x^{2} y^{2} + x y^{3})}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $A = \frac{15 x (x^{3} + y^{3})}{5 (x^{3} y - x^{2} y^{2} + x y^{3})}$ $= \frac{3 \cdot 5 x (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{5 x y (x^{2} - x y + y^{2})} = \frac{3 (x + y)}{y} .$

b. Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

• Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

• Muốn quy đồng mẫu thức thành nhiều phân thức, ta làm như sau:

− Phân tích các mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) rồi tìm mẫu thức chung (MTC).

− Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC cho từng mẫu thức đó.

− Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức $\frac{1}{4 x + 6}; \frac{3}{4 x - 6}; \frac{2}{4 x^{2} - 9} .$

Hướng dẫn giải

Ta có: 4x + 6 = 2(2x + 3);

4x – 6 = 2(2x – 3);

4x² – 9 = (2x + 3)(2x – 3).

Chọn MTC là: 2(2x + 3)(2x – 3)

Vậy $\frac{1}{4 x + 6} = \frac{1}{2 (2 x + 3)} = \frac{2 x - 3}{2 (2 x - 3) (2 x + 3)};$

$\frac{3}{4 x - 6} = \frac{3}{2 (2 x - 3)} = \frac{3 (2 x + 3)}{2 (2 x - 3) (2 x + 3)};$

$\frac{2}{4 x^{2} - 9} = \frac{2}{(2 x + 3) (2 x + 3)}$ $= \frac{4}{2 (2 x - 3) (2 x + 3)} .$

Bài tập Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Bài 1. Hai phân thức $\frac{a^{3} b + a b^{3}}{a b (a - b)}$ và $\frac{a^{2} + b^{2}}{a - b}$ có bằng nhau không?

Hướng dẫn giải

Ta có:

• (a³b + ab³) . (a – b) = a³b(a – b) + ab³(a – b) = a⁴b – a³b² + a²b³ – ab⁴.

• ab(a – b) . (a² + b²) = (a²b – ab²) . (a² + b²)

= a²b(a² + b²) – ab²(a² + b²)

= a⁴b + a²b³ – a³b² – ab⁴.

Do đó (a³b + ab³) . (a – b) = ab(a – b) . (a² + b²).

Vậy $\frac{a^{3} b + a b^{3}}{a b (a - b)} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a - b} .$

Bài 2. Rút gọn phân thức sau:

a) $\frac{6 a b^{3} c^{2}}{12 a^{2} b c} .$

b) $\frac{36 x y^{2}}{16 x^{2} y^{3}};$

c) $\frac{5 x^{5} - 5 x}{x^{2} + 1};$

d) $\frac{6 x - 3 y}{4 x^{2} - y} .$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{6 a b^{3} c^{2}}{12 a^{2} b c} = \frac{6. a. b^{2} . b . c . c}{2.a.a. b . c} = \frac{b^{2} c}{2 a};$

b) $\frac{36 x y^{2}}{16 x^{2} y^{3}} = \frac{9.4 x y^{2}}{14 x y .4 x y^{2}} = \frac{9}{4 x y};$

c) $\frac{5 x^{5} - 5 x}{x^{2} + 1} = \frac{5 x (x^{4} - 1)}{x^{2} + 1} = \frac{5 x[{(x^{2})}^{2} - 1^{2}]}{x^{2} + 1}$ $= \frac{5 x (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = 5 x (x^{2} - 1) .$

d) $\frac{6 x - 3 y}{4 x^{2} - y^{2}} = \frac{3 (2 x - y)}{(2 x - y) (2 x + y)} = \frac{3}{(2 x + y)} .$

Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức trong mỗi trường hợp sau:

a) $\frac{3}{x + 2 y}$ và $\frac{- 1}{x - 2 y};$

b) $\frac{2}{x + 4}$ và $\frac{2}{x^{2} - 16};$

c) $\frac{1}{3 x + 3 y}; \frac{2 x}{x^{2} - y^{2}}$ và $\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} .$

Hướng dẫn giải

a) Ta có MTC là: (x + 2y)(x – 2y) .

$\frac{3}{x + 2 y} = \frac{3. (x - 2 y)}{(x + 2 y) (x - 2 y)} = \frac{3 x - 6 y}{x^{2} - 4 y^{2}};$

$\frac{- 1}{x - 2 y} = \frac{3}{x + 2 y}$ $= \frac{- 1. (x + 2 y)}{(x - 2 y) (x + 2 y)} = \frac{- x + 2 y}{x^{2} - 4 y^{2}} .$

b) Ta có: x² – 16 = (x – 4)(x + 4) .

Chọn MTC là (x – 4)(x + 4).

$\frac{2}{x + 4} = \frac{2 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 16}$ ; giữ nguyên phân thức $\frac{2}{x^{2} - 16} .$

c) Ta có: 3x + 3y = 3(x + y);

x² – y² = (x + y)(x – y);

x² – 2xy + y² = (x – y)².

Chọn MTC là: 3(x + y)(x – y)².

$\frac{1}{3 x + 3 y} = \frac{1}{3 (x + y)} = \frac{{(x - y)}^{2}}{3 (x + y) {(x - y)}^{2}};$

$\frac{2 x}{x^{2} - y^{2}} = \frac{2 x}{(x + y) (x - y)}$ $= \frac{2 x \cdot 3 (x - y)}{3 (x + y) {(x - y)}^{2}} = \frac{6 x (x - y)}{3 (x + y) {(x - y)}^{2}};$

$\frac{x^{2} - x y + y^{2}}{x^{2} - 2 x y + y^{2}} = \frac{x^{2} - x y + y^{2}}{{(x - y)}^{2}} =$ $\frac{3 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{3 (x + y) {(x - y)}^{2}} = \frac{3 (x^{3} + y^{3})}{3 (x + y) {(x - y)}^{2}} .$

Học tốt Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Các bài học để học tốt Tính chất cơ bản của phân thức đại số Toán lớp 8 hay khác:

Giải sgk Toán 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác