Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 9 Kết nối tri thức

Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 9: Tam giác đồng dạng sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết cùng các bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 8 Chương 9.

Lý thuyết tổng hợp Toán 8 Chương 9

1. Định nghĩa hai tam giác đồng dạng

Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABCnếu:

$\frac{\text{A'B'}}{\text{AB}}=\frac{\text{B'C'}}{\text{BC}}=\frac{\text{A'C'}}{\text{AC}};$$\widehat{A\text{'}}\text{=}\hat{\text{A}}\text{,}\widehat{B\text{'}}\text{=}\hat{\text{B}}\text{,}\widehat{C\text{'}}\text{=}\hat{\text{C}}\text{.}$

Tam giác đồng dạng với tam giácđược kí hiệu là ΔA'B'C' ᔕ ΔABC (viết theo thứ tự cặp đỉnh tương ứng).

Tỉ số $\text{k}=\frac{\text{A'B'}}{\text{AB}}=\frac{\text{B'C'}}{\text{BC}}=\frac{\text{A'C'}}{\text{AC}}$ được gọi là tỉ số đồng dạng của ΔA'B'C' với ΔABC.

Nhận xét:

• ΔA'B'C' ᔕ ΔABC với tỉ số đồng dạng k thì ΔABC ᔕ ΔA'B'C' với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{k}.$

Do vậy khi ΔA'B'C' ᔕ ΔABC thì ta nói hai tam giác ΔA'B'C' và ΔABC đồng dạng với nhau.

• Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau theo tỉ số đồng dạng k = 1.

• Nếu ΔA''B''C'' ᔕ ΔA'B'C' với tỉ số đồng dạng k và ΔA'B'C' ᔕ ΔABC với tỉ số đồng dạng m thì ΔA''B''C'' ᔕ ΔABC với tỉ số đồng dạng k.m.

2. Định lí

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

* Chú ý: Định lí trên vẫn đúng nếu thay bằng đường thẳng cắt phần kéo dài của hai cạnh tam giác. Chẳng hạn, trong hình vẽ bên dưới có ED // BC. Khi đó, ΔADE ᔕ ΔABC.

3. Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (c.c.c).

4. Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (c.g.c).

Nhận xét: Nếu ΔA'B'C' ᔕ ΔABC theo tỉ số k và AM, A'M' lần lượt là các đường trung tuyến của ABC và ΔA'B'C' thì $\frac{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}{AM}=k.$

5. Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau (g.g).

Nhận xét: Nếu ΔABC ᔕ ΔA'B'C' theo tỉ số k và AM, A'M' lần lượt là các đường phân giác của ΔABC và ΔA'B'C' thì $\frac{A^{\text{'}}{M}^{\text{'}}}{AM}=k.$

6. Định lí Pythagore

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

7. Định lí Pythagore đảo

Nếu tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

Nhận xét: Nếu tam giác vuông ABC tại A có đường cao AH = h, các cạnh BC = a, AC = b, AB = c thì h . a = b . c.

8. Áp dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vào tam giác vuông

Định lí 1. Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

Định lí 2. Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

ΔABC vuông tại A, ΔA'B'C' vuông tại A'.

• Nếu $\hat{B}=\widehat{B^{\text{'}}}$ thì ΔABC ᔕ ΔA'B'C' (g.g).

• Nếu $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{AC}$ thì ΔA'B'C' ᔕ ΔABC (c.g.c).

9. Trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông

Định lí. Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

10. Hình đồng dạng. Hình đồng dạng phối cảnh

• Các cặp hình phóng to − thu nhỏ được gọi là các hình đồng dạng phối cảnh. Điểm đồng quy O trong mỗi hình được gọi là tâm phối cảnh của các cặp hình. Chẳng hạn: trong bên dưới, ta nói hình T' đồng dạng phối cảnh với hình T theo tỉ số đồng dạng $k=\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}=2.$

• Trong cặp hình phóng to − thu nhỏ, nếu thay đổi vị trí của một hình đi thì chúng vẫn có hình dạng giống nhau. Khi đó chúng được gọi là hình đồng dạng. Chẳng hạn, hình ℋ ' được gọi là đồng dạng với hình ℋ nếu nó bằng ℋ hoặc bằng một hình phóng to hay thu nhỏ của ℋ (như hình bên dưới).

Bài tập tổng hợp Toán 8 Chương 9

Bài 1. Cho ΔABC ᔕ ΔADE với tỉ số đồng dạng k, biết DE = 4, BC = 12. Tính tỉ số đồng dạng k.

Hướng dẫn giải

Vì ΔABC ᔕ ΔADE nên tỉ số đồng dạng $\text{k}=\frac{\text{BC}}{\text{DE}}=\frac{12}{4}=3.$

Vậy tỉ số đồng dạng k = 3.

Bài 2. Cho ΔABC ᔕ ΔEDF (hình bên dưới), biết $\hat{\text{E}}=75°,\hat{\text{F}}=40°$. Tính số đo góc B.

Hướng dẫn giải

Trong tam giác DEF có:

$\hat{\text{D}}\text{+}\hat{\text{E}}\text{+}\hat{\text{F}}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Suy ra $\hat{\text{D}}=180°-\hat{\text{E}}-\hat{\text{F}}$$=180°-75°-40°=65°.$

Vì ΔABC ᔕ ΔEDF nên $\hat{B}=\hat{\text{D}}\text{= 65}°.$

Vậy $\hat{B}=65°.$

Bài 3. Cho tam giác ABC, DE là đường trung bình của tam giác (hình bên dưới). Tính ΔAED ᔕ ΔABC theo tỉ số đồng dạng k.

Hướng dẫn giải

Vì DE là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có:

• $\frac{\text{AD}}{\text{AC}}=\frac{1}{2}$ (D là trung điểm AC).

• $\frac{\text{AE}}{\text{AB}}=\frac{1}{2}$ (E là trung điểm AB).

• $\frac{\text{DE}}{\text{BC}}=\frac{1}{2}$ và DE // BC (tính chất đường trung bình).

Vì DE // BC nên $\widehat{\text{ADE}}\text{=}\widehat{\text{ACB}}\text{,}\widehat{\text{AED}}\text{=}\widehat{\text{ABC}}$ (các góc đồng vị).

Do đó ΔAED ᔕ ΔABC với tỉ số k = $\frac{1}{2}.$

Bài 4. Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Kẻ BH và CK lần lượt vuông góc với AM. Chứng minh ΔMHB ᔕ ΔMKC.

Hướng dẫn giải

Xét hai tam giác vuông MHB và MKC có:

$\widehat{\text{MHB}}\text{=}\widehat{\text{MKC}}=90°$

$\widehat{\text{HMB}}\text{=}\widehat{\text{KMC}}$ (đối đỉnh)

BM = MC (vì M là trung điểm của BC)

Suy ra ΔMHB = ΔMKC (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó ΔMHB ᔕ ΔMKC.

Bài 5. Cho tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm. Tam giác A'B'C' có A'B' = 6 cm, B'C' = 14 cm, A'C' = 10 cm. Chứng minh ΔBAC ᔕ ΔB'A'C'.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};$$\frac{\text{AC}}{\text{A'C'}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2};$$\frac{\text{BC}}{\text{B'C'}}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{A'B'}}=\frac{\text{AC}}{\text{A'C'}}=\frac{\text{BC}}{\text{B'C'}}.$

Xét ΔBAC và ΔB'A'C' có: $\frac{\text{BA}}{\text{B'A'}}=\frac{\text{AC}}{\text{A'C'}}=\frac{\text{BC}}{\text{B'C'}}.$

Do đó ΔBAC ᔕ ΔB'A'C' (c.c.c).

Bài 6. Tứ giác ABCD có AB = 3 cm, BC = 10 cm, CD = 12 cm, AD = 5 cm và BD = 6 cm. Tứ giác ABCD là hình gì?

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2};$$\frac{\text{AD}}{\text{BC}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2};$$\frac{\text{BD}}{\text{DC}}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$

Suy ra $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{AD}}{\text{BC}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}.$

Xét hai tam giác ABD và BDC có $\frac{\text{AB}}{\text{BD}}=\frac{\text{AD}}{\text{BC}}=\frac{\text{BD}}{\text{DC}}.$

Do đó ΔABD ᔕ ΔBDC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{BDC}}$ (hai góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AB // DC.

Vậy tứ giác ABCD là hình thang.

Bài 7. Cho tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF. Biết BC = 24,3 cm, CA = 32,4 cm, AB = 16,2 cm và AB – DE = 10 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF.

Hướng dẫn giải

Vì ΔABC ᔕ ΔDEF nên $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AC}}{\text{DF}}.$

Mà AB – DE = 10 cm nên DE = AB – 10 = 16,2 – 10 = 6,2 (cm).

Suy ra $\frac{\text{16,2}}{\text{6,2}}=\frac{\text{24,3}}{\text{EF}}=\frac{\text{32,4}}{\text{DF}}=\frac{81}{31}.$

Suy ra $\text{EF}=\frac{24,3\cdot 31}{81}=9,3\left(\text{cm}\right),$$\text{DF}=\frac{32,4\cdot 31}{81}=12,4\left(\text{cm}\right).$

Vậy DE = 6,2 cm, EF = 9,3 cm, DF = 12,4 cm.

Bài 8. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh ΔABC ᔕ ΔMNP.

Hướng dẫn giải

• Xét tam giác OAB có: M là trung điểm OA, N là trung điểm OB.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác OAB.

Suy ra $\text{MN}=\frac{1}{2}\text{AB}$ hay $\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{1}{2}$. (1)

• Xét tam giác OAC có: M là trung điểm OA, P là trung điểm OC.

Suy ra MP là đường trung bình của tam giác OAC.

Suy ra $\text{MP}=\frac{1}{2}\text{AC}$ hay $\frac{\text{MP}}{\text{AC}}=\frac{1}{2}$. (2)

• Xét tam giác OBC có: N là trung điểm OB, P là trung điểm OC.

Suy ra NP là đường trung bình của tam giác OBC.

Suy ra $\text{NP}=\frac{1}{2}\text{BC}$ hay $\frac{\text{NP}}{\text{BC}}=\frac{1}{2}$ (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{\text{MP}}{\text{AC}}=\frac{\text{NP}}{\text{BC}}.$

Xét hai tam giác ABC và MNP có $\frac{\text{MN}}{\text{AB}}=\frac{\text{MP}}{\text{AC}}=\frac{\text{NP}}{\text{BC}}.$

Do đó ΔABC ᔕ ΔMNP (c.c.c).

Bài 9. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Biết AH = 6 cm; BH = 4,5 cm; HC = 8 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác ?

Hướng dẫn giải

• Xét tam giác ABH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

AB² = AH² + BH² nên $A{B}^2=6^2+4,5^2=\frac{225}{4}.$

Do đó AB = 7,5 cm.

• Xét tam giác ACH vuông tại H, áp dụng định lí Pythagore ta có:

AC² = AH² + CH² nên AC² = 6² + 8² = 100.

Do đó AC = 10 cm.

• BC = BH + HC = 4,5 cm + 8 cm = 12,5 cm

Ta có AB² + AC² = 7,5² + 10² = 156,25; BC² = 12,5² = 156,25;

Suy ra AB² + AC² = BC².

Do đó, tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo).

Bài 10. Một chiếc cột có chiều cao h dựng thẳng đứng trên mặt đất tại điểm M, người ta kéo căng các sợi dây từ đỉnh cột (điểm A) lần lượt đến các điểm C và D trên mặt đất.

Biết rằng CM = c, DM = d và c < d. Hãy chứng minh rằng a < b.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pythagore cho hai tam giác vuông AMC và AMD, ta được:

AC² = AM² + CM² hay a² = h² + c²;

AD² = AM² + DM² hay b² = h² + d².

Vì c < d nên c² < d² suy ra a² < b².

Vậy a < b (đpcm).

Bài 11. Cho hình vẽ:

Hình vẽ trên mô tả mặt cắt đứng của một sân khấu ngoài trời có mái che. Chiều cao của khung phía trước khoảng 7 m, chiều cao của khung phía sau là 6 m, hai khung cách nhau một khoảng 5 m. Tính chiều dài của mái che sân khấu (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

• AHCB là hình chữ nhật, có AH = BC = 6 cm; HC = AB = 5 m.

• HD = AD – AH = 7 cm – 6 cm = 1 cm.

Xét tam giác DHC vuông tại H, ta có:

DC² = DH² + CH² = 1² + 5² = 26

Do đó $DC=\sqrt{26}m\approx 5,1m.$

Vậy chiều dài mái che sân khấu khoảng 5,1 m.

Bài 12. Hình dưới đây mô tả một cánh buồm có dạng tam giác vuông, được buộc vào cột buồm thẳng đứng, với độ dài hai cạnh góc vuông là 12 m và 5 m. Tính chu vi của cánh buồm.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

BC² = AB² + AC² = 12² + 5² = 169 nên BC = 13 m.

Chu vi của tam giác ABC là:

13 + 12 + 5 = 30 (m).

Vậy chu vi của cánh buồm là 30 m.

Bài 13. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm, AC = 8 cm và tam giác DEF vuông tại D có EF = 5 cm, DF = 4 cm. Tính tỉ số chu vi của tam giác ABC và tam giác DEF.

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{8}{4}=2,\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{10}{5}=2.$

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}.$

Xét hai tam giác ABC và DEF có:

$\widehat{\text{BAC}}=\widehat{\text{EDF}}=90°;$ $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}.$

Do đó ΔABC ᔕ ΔDEF (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AB}}{\text{DE}}=2.$

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}=\frac{\text{BC}}{\text{EF}}=\frac{\text{AB}}{\text{DE}}$$=\frac{\text{AC + BC + AB}}{\text{DE + EF + DE}}=2.$

Vậy tỉ số chu vi của tam giác ABC và tam giác DEF là 2.

Bài 14. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D. Trên cạnh AD lấy I sao cho AB ⋅ DC = AI ⋅ DI.Tính số đo $\widehat{\text{BIC}}.$

Hướng dẫn giải

Vì AB ⋅ DC = AI ⋅ DI nên $\frac{\text{AB}}{\text{DI}}=\frac{\text{AI}}{\text{DC}}.$

Xét hai tam giác ABI và DIC có:

$\frac{\text{AB}}{\text{DI}}=\frac{\text{AI}}{\text{DC}};$ $\widehat{\text{BAI}}=\widehat{\text{CDI}}=90°.$

Do đó, ΔABI ᔕ ΔDIC (c.g.c).

Suy ra $\widehat{\text{AIB}}=\widehat{\text{DCI}}$ (hai góc tương ứng).

Mà $\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{DCI}}=90°$ (do tam giác DIC vuông tại D) nên $\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{AIB}}=90°.$

Do đó $\widehat{\text{BIC}}=180°-\left(\widehat{\text{DIC}}+\widehat{\text{AIB}}\right)$$=180°-90°=90°.$

Bài 15. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh BH ⋅ BC = AB².

Hướng dẫn giải

Xét ΔBHA và ΔBAC có:

$\widehat{\text{BHA}}=\widehat{\text{BAC}}=90°$; $\hat{\text{B}}$ chung.

Do đó ΔBHA ᔕ ΔBAC (g.g).

Suy ra $\frac{\text{BH}}{\text{BA}}=\frac{\text{BA}}{\text{BC}}$ hay AB² = BH ⋅ BC (đpcm).

Bài 16. Bạn Hoàng muốn đo chiều cao của một cây dừa mọc thẳng đứng trong sân, bạn dùng một cây cọc AB cao 1,5 m và chiều dài thân mình để đo. Bạn nằm cách gốc cây 3 m (tính từ chân của bạn) và bạn cắm cọc thẳng đứng dưới chân mình thì bạn thấy đỉnh thân cọc và đỉnh cây thẳng hàng với nhau. Tính chiều cao của cây dừa, biết bạn Hoàng cao 1,7 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Ta có MC = MB + BC = 1,7 + 3 = 4,7 (m).

Xét ΔMBA và ΔMCD có:

$\hat{\text{M}}$ chung; $\widehat{\text{MBA}}=\widehat{\text{MCD}}=90°.$

Do đó ΔMBA ᔕ ΔMCD (g.g).

Suy ra $\frac{\text{MB}}{\text{MC}}=\frac{\text{AB}}{\text{DC}}$ hay $\frac{\text{1,7}}{4,7}=\frac{1,5}{\text{DC}}$.

Do đó $\text{DC}=\frac{4,7\cdot 1,5}{1,7}\approx 4,1$ (m).

Vậy chiều cao của cây dừa khoảng 4,1 m.

Bài 17. Để đo chiều cao của cột đèn ta làm như sau: Đặt tấm gương phẳng nằm trên mặt phẳng nằm ngang, mắt của người quan sát nhìn thẳng vào tấm gương, người quan sát di chuyển sao cho thấy được đỉnh ngọn đèn trong tấm gương và $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A'BC'}}$. Cho chiều cao tính từ mắt của người quan sát đến mặt đất là AC = 1,7 m, khoảng cách từ gương đến chân người là BC = 0,6 m, khoảng cách từ gương đến chân cột đèn là BC' = 1,5 m. Tính chiều cao của cột đèn A'C'.

Hướng dẫn giải

Xét ΔACB và ΔA'C'B có:

$\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{A'BC'}};$

$\widehat{\text{ACB}}=\widehat{\text{A'C'B}}=90°$

Do đó ΔACB ᔕ ΔA'C'B (g.g).

Suy ra $\frac{\text{AC}}{\text{A'C'}}=\frac{\text{CB}}{\text{C'B}}$ hay $\frac{\text{1,7}}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{0,6}{1,5}$ .

Suy ra $A\text{'}C\text{'}=\frac{1,7\cdot 1,5}{0,6}=4,25\text{(m)}.$

Vậy chiều cao của cột đèn A'C' bằng 4,25 m.

Bài 18. Cho các hình sau:

Hỏi có bao nhiêu cặp hình đồng dạng trong hình trên?

Hướng dẫn giải

Các cặp hình đồng dạng là: Hình 1 và Hình 3; Hình 2 và Hình 4.

Hình 5 và hình 6 không phải là cặp hình đồng dạng vì hình 5 là hình chữ nhật, hình 6 là hình vuông.

Vậy có 2 cặp hình đồng dạng.

Bài 19. Cho hai hình chữ nhật A'B'C'D' và ABCD sao cho $\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$. Hỏi hai hình chữ nhật A'B'C'D' và ABCD có đồng dạng hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Trên tia AD ta lấy điểm D'' sao cho AD'' = A'D'. Qua D'' kẻ đường thẳng song song với DC, cắt tia AC tại C''. Qua C'' kẻ đường thẳng song song với BC, cắt tia AB tại B''.

Ta thấy, tứ giác AB''C''D'' là hình chữ nhật và hình chữ nhật AB''C''D'' đồng dạng phối cảnh với hình chữ nhật ABCD. (1)

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác ACD với C''D'' // CD, ta có: $\frac{AC"}{AC}=\frac{AD"}{AD}.$

Do đó, $\frac{AB"}{AB}=\frac{AD"}{\text{AD}}=\frac{A\text{'}D\text{'}}{AD}$$=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}.$

Suy ra, AB'' = A'B'.

Vì AB'' = A'B' và AD'' = A'D' nên hình chữ nhật AB''C''D'' bằng hình chữ nhật A'B'C'D' (2).

Từ (1) và (2) suy ra hai hình chữ nhật A'B'C'D' và ABCD đồng dạng.

Bài 20. Cho hình vẽ:

Biết các điểm A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA', OB', OC', OD'. Cho biết hai hình chữ nhật ABCD và A'B'C'D' có đồng dạng phối cảnh hay không? Nếu có, hãy chỉ ra tâm đồng dạng phối cảnh.

Hướng dẫn giải

Quan sát hình vẽ, ta thấy:

• Bốn đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua điểm O;

• Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA', OB', OC', OD' nên ta có $\frac{OA\text{'}}{OA}=\frac{OB\text{'}}{OB}=\frac{OC\text{'}}{OC}=\frac{OD\text{'}}{OD};$

Vậy hình chữ nhật A'B'C'D' và hình chữ nhật ABCD là đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh.

Bài 21. Cho tam giác ABC với trọng tâm O. Lấy điểm A', B', C' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. Hỏi hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh với tỉ số bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

• Ta thấy ba đường thẳng AA', BB', CC' cùng đi qua điểm O.

• Vì A', B', C' lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC nên $\frac{O{A}^{\text{'}}}{OA}=\frac{O{B}^{\text{'}}}{OB}=\frac{O{C}^{\text{'}}}{OC}=\frac{1}{2}.$

Do đó, hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh.

Xét tam giác OAB có A'B' // AB (định lí Thalès đảo) suy ra $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{1}{2}.$

Tương tự, $\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}=\frac{1}{2};\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{AC}=\frac{1}{2}.$

Do đó $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{AC}=\frac{1}{2}.$

Vậy hai tam giác A'B'C' và ABC đồng dạng phối cảnh và điểm O là tâm đồng dạng phối cảnh với tỉ số $\frac{1}{2}.$

Bài 22. Cho hai tứ giác A'B'C'D' và ABCD đồng dạng phối cảnh với nhau. O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $k=\frac{1}{2}.$

Biết AB = 3 cm; BC = 1,5 cm; CD = 2 cm; AD = 4 cm. Tính chu vi tứ giác A'B'C'D'.

Hướng dẫn giải

Vì hai tứ giác A'B'C'D' và ABCD đồng dạng phối cảnh với nhau. O là tâm đồng dạng phối cảnh, tỉ số $k=\frac{1}{2}$ nên ta có:

$\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC}=\frac{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{CD}$$=\frac{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{AD}=\frac{1}{2}$

Hay $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{3}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{1,5}=\frac{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{2}$$=\frac{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{4}=\frac{1}{2}.$

Suy ra A'B' = 1,5 cm; B'C' = 0,75 m; C'D' = 1 cm; A'D' = 2 cm.

Chu vi tứ giác A'B'C'D' là:

A'B' + B'C' + C'D' + D'A' = 1,5 + 0,75 + 1 + 2 = 5,25 (cm).

Vậy chu vi tứ giác A'B'C'D' là 5,25 cm.

Học tốt Toán 8 Chương 9

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 9 Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài tập cuối chương 9

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng

• Lý thuyết Toán 8 Bài 36: Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông

• Lý thuyết Toán 8 Bài 37: Hình đồng dạng

• Lý thuyết Toán 8 Bài 38: Hình chóp tam giác đều

• Lý thuyết Toán 8 Bài 39: Hình chóp tứ giác đều

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 10

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 8 Kết nối tri thức
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---