12 Bài tập Các phép biến đổi lượng giác (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Trang trước Trang sau

Với 12 bài tập trắc nghiệm Các phép biến đổi lượng giác Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

Câu 1. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?

A. $\cos 6 a = \cos^{2} 3 a - \sin^{2} 3 a .$ B. $\cos 6 a = 1 - 2 \sin^{2} 3 a .$

C. $\cos 6 a = 1 - 6 \sin^{2} a .$ D. $\cos 6 a = 2 \cos^{2} 3 a - 1.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức

$\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α = 2 \cos^{2} α - 1 = 1 - 2 \sin^{2} α$ , ta được $\cos 6 a = \cos^{2} 3 a - \sin^{2} 3 a = 2 \cos^{2} 3 a - 1 = 1 - 2 \sin^{2} 3 a$

Câu 2. Nếu $\tan (a + b) = 7, \tan (a - b) = 4$ thì giá trị đúng của $\tan 2 a$ là

A. $- \frac{11}{27} .$ B. $\frac{11}{27}$ C. $- \frac{13}{27} .$ D. $\frac{13}{27}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\tan 2 a = \tan [(a + b) + (a - b)] = \frac{\tan (a + b) + \tan (a - b)}{1 + \tan (a + b) . \tan (a - b)} = \frac{7 + 4}{1 - 7.4} = - \frac{11}{27} .$

Câu 3. Đẳng thức nào sau đây đúng:

A. $\cot a + \cot b = \frac{\sin (b - a)}{\sin a . \sin b} .$ B. < $\cos^{2} a = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 a) .$

C. $\sin (a + b) = \frac{1}{2} \sin 2 (a + b) .$ D. $\tan (a + b) = \frac{\sin (a + b)}{\cos a . \cos b} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án:

- Đáp án A.

Ta có

$\cot a + \cot b = \frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\cos b}{\sin b} = \frac{\cos a . \sin b + \sin a . \cos b}{\sin a . \sin b} = \frac{\sin (a + b)}{\sin a . \sin b}$

- Đáp án B.

Ta có $\cos 2 a = 2 \cos^{2} a - 1 \Leftrightarrow \cos^{2} a = \frac{1}{2} (1 + \cos 2 a)$

Câu 4. Rút gọn $M = \sin (x - y) \cos y + \cos (x - y) \sin y .$

A. $M = \cos x .$ B. $M = \sin x .$

C. $M = \sin x \cos 2 y .$ D. $M = \cos x \cos 2 y .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $s i n (a + b) = \sin a \cos b + \sin b \cos a$ , ta được

$M = \sin (x - y) \cos y + \cos (x - y) \sin y = \sin [(x - y) + y] = \sin x .$

Câu 5. Giá trị của biểu thức $\cos \frac{π}{30} \cos \frac{π}{5} + \sin \frac{π}{30} \sin \frac{π}{5}$ là

A. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$ B. $- \frac{\sqrt{3}}{2} .$ C. $\frac{\sqrt{3}}{4} .$ D. $\frac{1}{2} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\cos \frac{π}{30} \cos \frac{π}{5} + \sin \frac{π}{30} \sin \frac{π}{5} = \cos (\frac{π}{30} - \frac{π}{5}) = \cos (- \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Câu 6. Rút gọn biểu thức $M = \cos^{4} 15 ° - \sin^{4} 15 ° .$

A. $M = 1.$ B. $M = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ C. $M = \frac{1}{4} .$ D. $M = 0.$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $M = \cos^{4} 15 ° - \sin^{4} 15 ° = {(\cos^{2} 15 °)}^{2} - {(\sin^{2} 15 °)}^{2}$

$= (\cos^{2} 15 ° - \sin^{2} 15 °) (\cos^{2} 15 ° + \sin^{2} 15 °)$

$= \cos^{2} 15 ° - \sin^{2} 15 ° = \cos (2.15 °) = \cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Câu 7. Giá trị của biểu thức $P = \frac{\sin \frac{5 π}{18} \cos \frac{π}{9} - \sin \frac{π}{9} \cos \frac{5 π}{18}}{\cos \frac{π}{4} \cos \frac{π}{12} - \sin \frac{π}{4} \sin \frac{π}{12}}$ là

A. 1. B. $\frac{1}{2}$ . C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\{\begin{cases} \sin a . \cos b - \cos a . \sin b = \sin (a - b) \\ \cos a . \cos b - \sin a . \sin b = \cos (a + b) \end{cases} .$

Khi đó $\sin \frac{5 π}{18} \cos \frac{π}{9} - \sin \frac{π}{9} \cos \frac{5 π}{18} = \sin (\frac{5 π}{18} - \frac{π}{9}) = \sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} .$

Và $\cos \frac{π}{4} \cos \frac{π}{12} - \sin \frac{π}{4} \sin \frac{π}{12} = \cos (\frac{π}{4} + \frac{π}{12}) = \cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2} .$

Vậy $P = \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = 1.$

Câu 8. Giá trị nào sau đây của $x$ thỏa mãn $\sin 2 x . \sin 3 x = \cos 2 x . \cos 3 x$ ?

A. $18 ° .$ B. $30 ° .$ C. $36 ° .$ D. $45 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\cos a . \cos b - \sin a . \sin b = \cos (a + b)$ , ta được

$\sin 2 x . \sin 3 x = \cos 2 x . \cos 3 x \Leftrightarrow \cos 2 x . \cos 3 x - \sin 2 x . \sin 3 x = 0$

$\Leftrightarrow \cos 5 x = 0 \Leftrightarrow 5 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{10} + k \frac{π}{5} .$

Câu 9. Trong $Δ A B C$ , nếu $\frac{\sin B}{\sin C} = 2 \cos A$ thì $Δ A B C$ là tam giác có tính chất nào sau đây?

A. Cân tại B. B. Cân tại A .

C. Cân tại C. D. Vuông tại B.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\frac{\sin B}{\sin C} = 2 \cos A \Rightarrow \sin B = 2 \sin C . \cos A . = \sin (C + A) + \sin (C - A)$

Mặt khác

$A + B + C = π \Rightarrow B = π - (A + C) \Rightarrow \sin B = \sin (A + C)$ .

Do đó, ta được $\sin (C - A) = 0 \Rightarrow A = C$

Câu 10. Cho góc $α$ thỏa mãn $\sin 2 α = - \frac{4}{5}$ và $\frac{3 π}{4} < α < π$ . Tính $P = \sin α - \cos α$ .

A. $P = \frac{3}{\sqrt{5}} .$ B. $P = - \frac{3}{\sqrt{5}} .$

C. $P = \frac{\sqrt{5}}{3} .$ D. $P = - \frac{\sqrt{5}}{3} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Vì $\frac{3 π}{4} < α < π$ suy ra $\{\begin{cases} \sin α > 0 \\ \cos α < 0 \end{cases}$ nên $\sin α - \cos α > 0$

Ta có ${(\sin α - \cos α)}^{2} = 1 - \sin 2 α = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}$ .

Suy ra $\sin α - \cos α = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}$

Do $\sin α - \cos α > 0$ nên $\sin α - \cos α = \frac{3}{\sqrt{5}}$ . Vậy $P = \frac{3}{\sqrt{5}} .$

Câu 11. Biểu thức $P = \sin (x + \frac{π}{3}) - \sin x$ có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Áp dụng công thức $\sin a - \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a - b}{2}$ , ta có

$\sin (x + \frac{π}{3}) - \sin x = 2 \cos (x + \frac{π}{6}) \sin \frac{π}{6} = \cos (x + \frac{π}{6}) .$

Ta có $- 1 \leq \cos (x + \frac{π}{6}) \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq P \leq 1 \overset{P \in ℤ}{\to} P \in (- 1; 0; 1) .$

Câu 12. Khi $α = \frac{π}{6}$ thì biểu thức $A = \frac{s i n^{2} 2 α + 4 s i n^{4} α - 4 \sin^{2} α . \cos^{2} α}{4 - \sin^{2} 2 α - 4 \sin^{2} α}$ có giá trị bằng:

A. $\frac{1}{3}$ . B. $\frac{1}{6}$ . C. $\frac{1}{9}$ . D. $\frac{1}{12}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có

$A = \frac{s i n^{2} 2 α + 4 s i n^{4} α - 4 \sin^{2} α . \cos^{2} α}{4 - \sin^{2} 2 α - 4 \sin^{2} α} = \frac{4 s i n^{4} α}{4 (1 - \sin^{2} α) - 4 \sin^{2} α . \cos^{2} α}$

$= \frac{s i n^{4} α}{\cos^{2} α (1 - \sin^{2} α)} = \frac{s i n^{4} α}{\cos^{4} α} = \tan^{4} a .$

Do đó giá trị của biểu thức A tại $α = \frac{π}{6}$ là $\tan^{4} (\frac{π}{6}) = {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{4} = \frac{1}{9}$ .

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Cánh diều có đáp án hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác