13 Bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 11

Với 13 bài tập trắc nghiệm Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. Cho hình chóp đều S.ABCD, gọi O là tâm của đa giác đáy (tham khảo hình vẽ).

Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng góc nào sau đây?

A. $\widehat{SBA}$.

B. $\widehat{SBO}$.

C. $\widehat{SOB}$.

D. $\widehat{SBC}$.

Hiển thị đáp án

Ta có O là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng góc $\widehat{SBO}$.

Đáp án: B

Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (tham khảo hình vẽ). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Hiển thị đáp án

Ta có (AC', (ABCD)) = (AC', AC) = $\widehat{C^{\text{'}}AC}=\alpha$.

Giả sử hình lập phương có cạnh là a.

Trong $∆$CC'A ta có $\sin \alpha =\frac{C{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{a}{\sqrt{2a^2+a^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án: A

Câu 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của SD. Tan của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Hiển thị đáp án

Gọi O là tâm của hình vuông, hạ MH $\perp$ BD.

Ta có SO $\perp$ (ABCD) và $SO=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Gọi M là trung điểm của OD ta có MH // SO nên H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABCD) và $MH=\frac{1}{2}SO=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Do đó góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat{MBH}$.

Khi đó ta có $\tan \widehat{MBH}=\frac{MH}{BH}$$=\frac{a\sqrt{2}}{4}:\frac{3a\sqrt{2}}{4}=\frac{1}{3}$.

Đáp án: D

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), $SA=a\sqrt{2}$, tam giác ABC vuông cân tại B và $AB=a\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 90°.

Hiển thị đáp án

Vì SA $\perp$ (ABC) nên AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC).

Do đó (SB, (ABC)) = (SB, AB) = $\widehat{SBA}$.

Xét $∆$SAB vuông tại A, có SA = AB = $a\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ $∆$SAB vuông cân tại A $\Rightarrow$ $\widehat{SBA}=45°$.

Đáp án: B

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cạnh bên SA $\perp$ (ABCD) và $SA=a\sqrt{2}$. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) bằng

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 90°.

Hiển thị đáp án

Gọi H là trung điểm của AD $\Rightarrow$ AH = HD = a.

Vì BC // AH và BC = AH nên ABCH là hình bình hành mà $\hat{A}=90°$nên ABCH là hình chữ nhật.

Suy ra CH $\perp$ AD mà CH $\perp$ SA (SA $\perp$ (ABCD)) $\Rightarrow$ CH $\perp$ (SAD).

Khi đó SH là hình chiếu của SC lên mặt phẳng (SAD).

Suy ra góc giữa SC và (SAD) là góc $\widehat{CSH}$.

Tam giác SHC vuông tại H và có CH = a, $SH=\sqrt{S{A}^2+A{H}^2}=a\sqrt{3}$.

Ta có $\tan \widehat{CSH}=\frac{CH}{SH}=\frac{a}{\sqrt{a^2+2a^2}}$$=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CSH}=30°$.

Đáp án: A

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA $\perp$ (ABCD). Gọi H là hình chiếu của A lên BD và K là hình chiếu của A lên SD. Góc phẳng nhị diện [S, BD, A] là

A. $\widehat{SKA}$.

B. $\widehat{SBA}$.

C. $\widehat{SHA}$.

D. $\widehat{SDA}$.

Hiển thị đáp án

Ta có SH $\perp$ BD và AH $\perp$ BD.

Suy ra $\widehat{SHA}$ là góc phẳng nhị diện [S, BD, A].

Đáp án: C

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = a, $SA=a\sqrt{3}$, SA $\perp$ (ABC). Góc nhị diện [S, BC, A] có số đo bằng

A. 45°.

B. 60°.

C. 90°.

D. 30°.

Hiển thị đáp án

Vì BC $\perp$ BA và BC $\perp$ SA $\Rightarrow$ BC $\perp$ (SAB) $\Rightarrow$ BC $\perp$ SB.

Suy ra $\widehat{SBA}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Xét $∆$SAB vuông tại B, $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$$\Rightarrow \widehat{SBA}=60°$.

Đáp án: B

Câu 8. Cho hai mặt phẳng (P), (Q) có giao tuyến là đường thẳng CD. Điểm A $\in$ (P); B $\in$ (Q) và AO, BO cùng vuông góc với CD. M là một điểm bất kì thuộc CD (M ≠ O). Xác định góc nhị diện [A, CD, B].

A. $\widehat{AOB}$.

B. $\widehat{AMO}$.

C. $\widehat{AMB}$.

D. $\widehat{OAB}$.

Hiển thị đáp án

Theo định nghĩa, góc nhị diện [A, CD, B] là góc $\widehat{AOB}$.

Đáp án: A

Câu 9. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và $OB=OC=a\sqrt{6}$, OA = a. Tính góc nhị diện [A, BC, O].

A. 45°.

B. 60°.

C. 90°.

D. 30°.

Hiển thị đáp án

Gọi I là trung điểm của BC $\Rightarrow$ AI $\perp$ BC. Mà OA $\perp$ BC nên OI $\perp$ BC.

Ta có

Ta có $OI=\frac{1}{2}BC$$=\frac{1}{2}\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=a\sqrt{3}$.

Xét $∆$OAI vuông tại A ta có $\tan \widehat{OIA}=\frac{OA}{OI}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$\Rightarrow \widehat{OIA}=30°$.

Đáp án: D

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, $SA=a\sqrt{6}$ và vuông góc với đáy. Số đo của góc nhị diện [S, BD, A].

A. 45°.

B. 60°.

C. 90°.

D. 30°.

Hiển thị đáp án

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO $\perp$ BD mà SA $\perp$ BD (SA $\perp$ (ABCD)) $\Rightarrow$ BD $\perp$ (SAO)

$\Rightarrow$ BD $\perp$ SO.

Do đó [S, BD, A] = $\widehat{SOA}$.

Xét $∆$SOA có $\tan \widehat{SOA}=\frac{SA}{OA}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3}$.

Vậy góc cần tìm bằng 60°.

Đáp án: B

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Khi đó:

a) Góc giữa đường thẳng AE và mặt phẳng (SBC) bằng 90°.

b) Góc giữa đường thẳng AF và mặt phẳng (SCD) bằng 60°.

c) Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) bằng 45°.

d) Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (AEF) bằng 30°.

Hiển thị đáp án

a) Ta có BC $\perp$ AB và BC $\perp$ SA $\Rightarrow$ BC $\perp$ (SAB) $\Rightarrow$ BC $\perp$ AE.

Lại có AE $\perp$ SB. Do đó AE $\perp$ (SBC). Suy ra (AE, (SBC)) = 90°.

b) Tương tự câu a, (AF, (SCD)) = 90°.

c) Ta có AE $\perp$ (SBC) tại E nên (SA, (SBC)) = (SA, SE).

Mà $∆$ASE vuông tại E nên (SA, (SBC)) = (SA, SE) = $\widehat{ASE}$.

Xét $∆$SAB vuông tại A mà SA = SB = a nên $∆$SAB vuông cân $\Rightarrow$$\widehat{ASB}=45°$ hay $\widehat{ASE}=45°$.

d) Theo câu a, AE $\perp$ (SBC) $\Rightarrow$ AE $\perp$ SC.

Tương tự ta có SC $\perp$ AF nên SC $\perp$ (AEF) $\Rightarrow$ (SC, (AEF)) = 90°.

Đáp án:

a) Đúng;

b) Sai;

c) Đúng;

d) Sai.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B có $AC=a\sqrt{3}$, cạnh bên AA' = 3a. Góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABC) bằng bao nhiêu độ?

Hiển thị đáp án

Ta có hình chiếu của A'C lên (ABC) là AC.

Nên (A'C, (ABC)) = (A'C, AC) = $\widehat{A^{\text{'}}CA}$.

Ta có $\tan \widehat{A^{\text{'}}CA}=\frac{A^{\text{'}}A}{AC}=\frac{3a}{a\sqrt{3}}$$=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{A^{\text{'}}CA}=60°$.

Do vậy (A'C, (ABC)) = 60°.

Trả lời: 60.

Câu 2. Một hộp phấn không bụi có dạng hình hộp chữ nhật, chiều cao hộp phấn bằng 8,2 cm và đáy của nó có hai kích thước là 8,5 cm; 10,5 cm (xem hình vẽ sau). Tìm góc phẳng nhị diện [A, B'D', A'] (tính theo độ, làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hiển thị đáp án

Trong mặt phẳng (A'B'C'D'), kẻ A'H $\perp$ B'D' tại H.

Ta có:

Do đó $\widehat{AH{A}^{\text{'}}}$ là góc phẳng nhị diện [A, B'D', A'].

Tam giác A'B'D' vuông tại A' có đường cao A'H nên

$\frac{1}{A^{\text{'}}{H}^2}=\frac{1}{A^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2}+\frac{1}{A^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2}$$\Rightarrow A^{\text{'}}H=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\cdot A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{\sqrt{A^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2+A^{\text{'}}{D^{\text{'}}}^2}}=\frac{357}{2\sqrt{730}}\text{.}$

Tam giác AHA' vuông tại A' có:

$\tan \widehat{AH{A}^{\text{'}}}=\frac{A{A}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}H}=\frac{8,2}{\frac{357}{2\sqrt{730}}}$$\Rightarrow \widehat{AH{A}^{\text{'}}}\approx 51,1°$.

Trả lời: 51,1.

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo có đáp án hay khác:

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

• Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 11 Chương 8

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Biến cố hợp và quy tắc cộng xác suất

• Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 11 Chương 9

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---