13 Bài tập Hai đường thẳng vuông góc (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 11

Với 13 bài tập trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.

C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Hiển thị đáp án

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Đáp án: D

Câu 2. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc (IE, JF) bằng

A. 30°.

B. 45°.

C. 60°.

D. 90°.

Hiển thị đáp án

Ta có IF là đường trung bình của DACD

Lại có JE là đường trung bình của DBCD

Suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành.

Lại có mà AB = CD nên IJ = JE.

Do đó IJEF là hình thoi. Suy ra (IE, JF) = 90°.

Đáp án: D

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng

A. 90°.

B. 45°.

C. 30°.

D. 60°.

Hiển thị đáp án

Gọi O là tâm của hình thoi ABCD $\Rightarrow$ OJ là đường trung bình của DBCD.

Suy ra

Vì CD // OJ $\Rightarrow$ (IJ, CD) = (IJ, OJ).

Vì $IJ=\frac{1}{2}SB=\frac{a}{2};$ $OJ=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2};$ $OI=\frac{1}{2}SA=\frac{a}{2}$ nên $∆$IOJ đều.

Suy ra (IJ, CD) = (IJ, OJ) = $\widehat{IJO}=60°$.

Đáp án: D

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng

A. 90°.

B. 45°.

C. 30°.

D. 60°.

Hiển thị đáp án

Ta có IJ là đường trung bình của $∆$SBC nên IJ // SB.

Vì IJ // SB và CD // AB nên (IJ, CD) = (SB, AB) = $\widehat{SBA}=60°$ (do $∆$SAB đều).

Đáp án: D

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Số đo góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng

A. 90°.

B. 45°.

C. 30°.

D. 60°.

Hiển thị đáp án

Vì AB // CD nên (SA, CD) = (SA, AB).

Tam giác SAB đều cạnh a $\Rightarrow \widehat{SAB}=60°$. Vậy (SA, CD) = 60°.

Đáp án: D

Câu 6. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng nhau (tham khảo hình vẽ)

Góc giữa hai đường thẳng AB và C'A' bằng

A. 30°.

B. 60°.

C. 45°.

D. 90°.

Hiển thị đáp án

Tam giác ABC là tam giác đều suy ra $\widehat{BAC}=60°$.

Lại có CA // C'A' nên (AB, C'A') = (AB, CA) = $\widehat{BAC}=60°$.

Đáp án: B

Câu 7. Trong không gian, cho hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau. Khi đó:

A. Hai đường thẳng a và b có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

B. Hai đường thẳng a và b luôn cắt nhau.

C. Hai đường thẳng a và b chéo nhau.

D. Hai đường thẳng a và b song song với nhau.

Hiển thị đáp án

Do tính chất: trong không gian hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Đáp án: A

Câu 8. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, nếu đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a thì

A. Đường thẳng c vuông góc với đường thẳng b.

B. Đường thẳng c song song với đường thẳng b.

C. Đường thẳng c song song hoặc trùng với đường thẳng b.

D. Đường thẳng c cắt đường thẳng b tại một điểm.

Hiển thị đáp án

Do tính chất: Trong không gian cho hai đường thẳng song song với nhau, nếu đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Đáp án: A

Câu 9. Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau. mệnh đề nào sai?

A. BB' $\perp$ BD.

B. A'C' $\perp$ BD.

C. A'B $\perp$ DC'.

D. BC' $\perp$ A'D.

Hiển thị đáp án

Vì hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau nên các tứ giác ABCD, A'B'BA, B'C'CB đều là hình thoi nên ta có:

AC $\perp$ BD mà AC // A'C' $\Rightarrow$ A'C' $\perp$ BD.

A'B $\perp$ AB' mà AB' // DC' $\Rightarrow$ A'B $\perp$DC'.

BC' $\perp$ B'C mà B'C // A'D $\Rightarrow$ BC' $\perp$ A'D.

Đáp án: A

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A. AC $\perp$ SD.

B. BD $\perp$ AC.

C. BD $\perp$ SA.

D. AC $\perp$ SA.

Hiển thị đáp án

Ta có tam giác SAC cân tại S và SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao $\Rightarrow$ SO $\perp$ AC.

Trong tam giác vuông SOA thì AC và SA không thể vuông tại A.

Đáp án: D

PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI

Câu hỏi. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a và vuông góc với AB và AD, $SC=a\sqrt{3}$. Khi đó:

a) SA $\perp$ BC.

b) SA $\perp$ CD.

c) BC $\perp$ SB.

d) K là hình chiếu của A lên SB thì SC $\perp$ AK.

Hiển thị đáp án

a) Ta có BC // AD mà SA $\perp$ AD $\Rightarrow$ SA $\perp$ BC.

b) CD // AB mà SA $\perp$ AB Þ SA $\perp$ CD.

c) Có $SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2};$ $BC=a$.

Suy ra SC² = 3a² = SB² + BC² $\Rightarrow$$∆$SBC vuông tại B. Vậy BC $\perp$ SB.

d) Ta có DSAB vuông cân tại A và K là hình chiếu của A lên SB nên K là trung điểm SB.

Gọi I là trung điểm BC. Khi đó KI // SC. Suy ra (SC, AK) = (KI, AK).

Ta có AK là đường trung tuyến trong tam giác vuông SAB nên $AK=\frac{SB}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$;

KI là đường trung bình của tam giác SBC nên $KI=\frac{SC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Có $AI=\sqrt{A{B}^2+B{I}^2}$$=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.

Vì $A{I}^2=\frac{5a^2}{4}=A{K}^2+K{I}^2$ nên $∆$AKI vuông tại K $\Rightarrow$ (SC, AK) = (KI, AK) = 90°.

Đáp án:

a) Đúng;

b) Đúng;

c) Đúng;

d) Đúng.

PHẦN III. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM bằng $\frac{\sqrt{a}}{6}$. Tìm a.

Hiển thị đáp án

Kẻ MN // AB mà M là trung điểm của BC nên N là trung điểm của AC.

Ta có (AB, DM) = (MN, DM).

Vì tứ diện ABCD đều nên $∆$ADC, $∆$BCD đều cạnh a $\Rightarrow DM=DN=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì MN là đường trung bình của $∆$ABC nên $MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.

Xét $∆$DMN có $\cos \widehat{DMN}=\frac{M{N}^2+D{M}^2-D{N}^2}{2.MN.DM}$$=\frac{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}{2.\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Do đó $\cos \left(AB,DM\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}.$

Suy ra a = 3.

Trả lời: 3.

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của AB. Góc giữa hai đường thẳng SM và BC bằng a°. Tìm a.

Hiển thị đáp án

Kẻ MN // BC (N $\in$ AC) mà M là trung điểm của AB nên N là trung điểm của AC.

Khi đó (SM, BC) = (SM, MN).

Xét $∆$SBC vuông tại S, có $BC=\sqrt{S{B}^2+S{C}^2}=a\sqrt{2}$.

Mà MN là đường trung bình của $∆$ABC nên $MN=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Tương tự $AB=a\sqrt{2}$ mà SM là đường trung tuyến trong tam giác vuông SAB nên $SM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Tương tự $SN=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì $MN=SM=SN=\frac{a\sqrt{2}}{2}$nên $∆$SMN đều $\Rightarrow \widehat{SMN}=60°$.

Suy ra (SM, BC) = 60°

Do đó a = 60.

Trả lời: 60.

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo có đáp án hay khác:

• Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 11 Chương 7

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 11 Chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---