Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về xác định số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng từ đó học tốt môn Toán.

1. Công thức

 Nếu (u_n) là cấp số cộng có số hạng đầu u₁ và công sai d:

- Số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n – 1)d, n ≥ 2.

- Tính chất các số hạng của cấp số cộng: ${\text{u}}_{\text{n}}=\frac{{\text{u}}_{\text{n-1}}+{\text{u}}_{\text{n+1}}}{2}$  hay ${\text{2u}}_{\text{n}}={\text{u}}_{\text{n-1}}+{\text{u}}_{\text{n+1}}$ , n ≥ 2.

- Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: ${\text{S}}_{\text{n}}=\frac{\text{n}\left({\text{u}}_1+{\text{u}}_{\text{n}}\right)}{2}$ hay ${\text{S}}_{\text{n}}=\frac{{\text{n[2u}}_1+(\mathrm{n}-1)\text{d]}}{2}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng (u_n) biết $\left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_{\text{1}}-{\text{u}}_3+{\text{u}}_5=10\\ {\text{u}}_1+{\text{u}}_6=17\end{array}\right.$.

a) Tìm số hạng đầu, công sai.

b) Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng.

c) Tính tổng 100 số hạng đầu.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_{\text{1}}-{\text{u}}_3+{\text{u}}_5=10\\ {\text{u}}_1+{\text{u}}_6=17\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_{\text{1}}-({\text{u}}_1+2\text{d})+({\text{u}}_1+4\text{d})=10\\ {\text{u}}_1+({\text{u}}_1+5\text{d})=17\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_1+2\text{d}=10\\ {\text{2u}}_1+5\text{d}=17\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_1=16\\ \text{d}=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = 16 và công sai d = –3.

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là:

u_n = 16 – 3(n – 1) = 19 – 3n.

c) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng (u_n) là:

${\text{S}}_{100}=\frac{100[\text{2}\cdot \text{16}+(100-1)\cdot (-3\left)\right]}{2}=250$

Ví dụ 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) biết $\left\{\begin{array}{l}{\text{S}}_4=18\\ {\text{S}}_6=45\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

${\text{S}}_4=\frac{4\left({\text{2u}}_1+3\text{d}\right)}{2}=18\iff 4\left({\text{2u}}_1+3\text{d}\right)=36\iff 8{\text{u}}_1+12\text{d}=36$  (1)

 ${\text{S}}_6=\frac{6\left({\text{2u}}_1+5\text{d}\right)}{2}=45\iff 6\left({\text{2u}}_1+5\text{d}\right)=90\iff 12{\text{u}}_1+30\text{d}=90$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}8{\text{u}}_1+12\text{d}=36\\ {\text{12u}}_1+30\text{d}=90\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_1=0\\ \text{d}=3\end{array}\right.$

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n) là:

u_n = 0 + 3(n – 1) = 3n – 3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho cấp số cộng (u_n) biết $\left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_2-{\text{u}}_6+{\text{u}}_4=-7\\ {\text{u}}_8-2{\text{u}}_7=2{\text{u}}_4\end{array}\right.$. Tính S₁₅.

Bài 2. Cho cấp số cộng (u_n) biết $\left\{\begin{array}{l}{\text{u}}_2\cdot {\text{u}}_5=52\\ {\text{u}}_2+{\text{u}}_3+{\text{u}}_4+{\text{u}}_5=34\end{array}\right.$. Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng (u_n).

Bài 3. Cho cấp số cộng (u_n) biết $\left\{\begin{array}{l}{\text{5u}}_1{\text{+ 10u}}_5=0\\ {\text{S}}_4=14\end{array}\right.$. Tính S₂₀ – S₈.

Bài 4. Một cấp số cộng có 10 số hạng, tổng của 10 số hạng là 165 và có công sai là 3. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng đó.

Bài 5. Cho S = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + (2n – 1) – 2n, n ∈ ℕ^*. Tính 4S.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức để dãy số là cấp số nhân

• Công thức Số hạng tổng quát và tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

• Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

• Định lí về giới hạn hữu hạn và một số giới hạn cơ bản của dãy số

• Một số kết quả giới hạn cơ bản của hàm số

---